Exercícios Resolvidos de EDO Linear de 1ª Ordem

UERJ, Cálculo 3, Lista 3 do Professor Fernando Lopes, Questão 1 item c

Resolva a seguinte equação diferencial linear:

d y d x + y x - cotg ⁡ x x = 0

Passo 1

Colocar a equação na forma y ' x + A x ⋅ y x = B ( x )

Se liga: a função cotg ⁡ x tem fluxos de descontinuidade, consideraremos 0 < x < π 2 .

Isso porque um parcela de continuidade da cotg ⁡ x seria de 0 < x < π , mas estou pegando um intervalo positivo para facilitar caso exista algum logaritmo pela frente.

Então fica:

y ' x + 1 x ⏟ A x y = cotg ⁡ x x ⏟ B x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Encontrar A ( x ) e B ( x )

A x = 1 x B x = cotg ⁡ x x

Passo 3

Calcular a integral ∫ A x d x sem adicionar a constante e ache I x = e ∫ A x d x

∫ A x d x = ∫ 1 x d x = ln ⁡ | x |

Assim ficou :

∫ A x d x = ln ⁡ | x |

I x = e ∫ A x d x

I x = e ln ⁡ x = x

Mas opa, vimos lá no início que:

0 < x < π 2

Então x = x !

Passo 4

Calcular a integral ∫ I x ⋅ B x d x + C

∫ cotg ⁡ x x ⋅ x d x + C = ∫ 1 x ⋅ cos ⁡ x sen ⁡ x ⋅ x   d x + C = ∫ cos ⁡ x sen ⁡ x d x + C

Por substituição simples:

t = sen ⁡ x

d t = cos ⁡ x d x

Substituindo na integral:

∫ 1 t d t + C = ln ⁡ | t | + C = ln ⁡ | sen ⁡ x | + C

E de novo sabemos que: 0 < x < π 2

Nesse intervado sen ⁡ x é positivo, logo podemos tirar o módulo:

ln ⁡ sen ⁡ x + C

Passo 5

Calcule finalmente y x = 1 I x ∫ I x ⋅ B x d x + C

y x = 1 x ⋅ ln ⁡ sen ⁡ x + C

Resposta

y x = 1 x ⋅ ln ⁡ sen ⁡ x + C

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