Nos problemas de (a) até (l), encontre a solução geral da equação diferencial dada. Dê o maior intervalo I sobre o qual a solução geral está definida.

l ) x d y d x + ( 3 x + 1 ) y = e - 3 x

Passo 1

Fala povo, tudo bem por aí? Essa questão parece difícil, mas vou te ajudar! Precisamos resolver essa equação diferencial ordinária aqui

x d y d x + ( 3 x + 1 ) y = e - 3 x

Vamos relembrar quais técnicas de resolução nós conhecemos:

  • x para um lado, tudo que envolve y para o outro e integrar! Mas infelizmente não conseguimos fazer isso com a nossa edo! (tenta você mesmo! Vai ver que não dá)
  • Fator integrante: para aplicar esse método precisamos que a edo esteja nesse formato aqui

y ' + P x y = Q ( x )

Essa é bem promissora! Mas calma! Antes de sair querendo a solução, precisamos arrumar nossa edo!

Se você olhar a nossa equação com carinho, vai ver que tem um y ali dando sopa! E é essa a nossa pista que nos leva ao método de solução de edo por fator integrante! Outra pista é que todos os outros coeficientes dependem apenas de x !

x que deixam a solução inválida, tipo divisão por zero, logaritmo de número negativo, essas coisas

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Já descobrimos qual o método que vamos usar, agora é #partiusolução

No método de fator integrante, nós vamos chamar esse fator de μ e considerando que nossa edo está escrita assim

y ' + P x y = Q ( x )

Nosso fator integrante é

μ = e ∫ P ( x ) d x

Beleza? Essa é nossa primeira missão! Achar o fator integrante! No passo seguinte te mostro qual é a solução! Mas como ela envolve esse μ , vamos fazer um passo de cada vez!

Nossa edo é

x d y d x + ( 3 x + 1 ) y = e - 3 x

Vamos começar trocando d y d x por y ' e dividindo tudo por x (aqui precisamos remover o x = 0 da solução final, podem aparecer outras restrições, vamos removendo à medida que forem aparecendo!) da solução:

y ' + 3 x x + 1 x y = e - 3 x x

y ' + 3 + 1 x y = e - 3 x x

Pronto! Temos que

P x = 3 + 1 x ; Q x = e - 3 x x

E o nosso fator integrante fica assim

μ = e ∫ 3 + 1 x d x = e ∫ 3 d x . e ∫ d x x = e 3 x . e ln ⁡ x = e 3 x . x = x e 3 x

Tudo bem até aqui?

Assim nosso fator integrante é

μ = x e 3 x

Obs.: como nosso fator integrante envolve um logaritmo em uma das etapas, precisamos garantir que no final a solução também seja com x > 0 , para garantir a validade dela.

Nossa solução final já não incluía o zero, agora não inclui os negativos também! Vamos ver se ate o final temos mais restrições!

Passo 3

Agora que calculamos nosso fator integrante, vamos para a solução! Sendo a equação diferencial assim

y ' + P x y = Q ( x )

A solução y ( x ) via fator integrante é essa aqui

y μ = ∫ μ Q ( x ) d x

Por isso que precisávamos encontrar antes o fator integrante! Vamos recapitular! Nossa edo

y ' + 3 + 1 x y = e - 3 x x

Aí temos

P x = 3 + 1 x ; Q x = e - 3 x x

E o fator integrante μ

μ = x e 3 x

Agora é substituir na solução y ( x ) !

y μ = ∫ μ Q ( x ) d x

y . x e 3 x = ∫ x e 3 x . e - 3 x x d x

Agora basta resolver!

y . x e 3 x = ∫ d x = x + c

Aí nossa solução fica assim

y = x x e 3 x + c x e 3 x

y x = 1 e 3 x + c x e 3 x

E o intervalo de validade? Lembra que retiramos o x = 0 ? No nosso fator integrante surgiu um ln ⁡ x , então precisamos garantir que esse x seja positivo, sendo assim

I = ( 0 , + ∞ )

Ufa! Agora sim! Terminamos! Espero ter ajudado!

Até próxima!

Resposta

y x = 1 e 3 x + c x e 3 x

I = ( 0 , + ∞ )

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