Resolva o problema de valor inicial

y ' = 2 - e x / ( 3 + 2 y ) , y 0 = 0 .

E determine onde a solução atinge seu valor máximo.

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá uma equação diferencial e nos pede para usarmos a condição inicial y 0 = 0 para encontrarmos a solução da equação.

Mas como podemos fazer isso?

Como estamos estudando equações diferenciais, vamos manipular algebricamente a expressão dada com derivadas e integrais para, dessa forma, encontrarmos constantes.

Daí, vamos usar a condição inicial para encontrarmos a solução da equação, belezinha?

Então bora junto aqui!!

Passo 2

Bom... temos que:

d y d x = 2 - e x 3 + 2 y ∴

Separando a equação e integrando, temos:

∫ 3 + 2 y d y = ∫ 2 - e x d x ∴

3 y + y 2 = 2 x - e x + c ∴

y 2 + 3 y - ( 2 x - e x + c ) = 0 ∴

Resolvendo a equação do 2º grau, temos:

y = - 3 ± 9 + 4 ( 2 x - e x + c ) 2

Passo 3

Dessa forma, aplicando a condição inicial y 0 = 0 , temos:

0 = - 3 ± 9 + 4 2 0 - e x + c 2 ∴

- 3 ± 5 + c = 0

Detalhe: Na expressão, observamos que o resultado é obtido para c = 4 e para um sinal positivo na raiz.

Dessa forma, o resultado é dado por:

y = - 3 + 13 + 8 x - 4 e x 2

Passo 4

Além disso, o valor máximo da solução ocorrerá quando y ' = 0 . Portanto:

0 = 2 - e x 3 + 2 y ∴

2 - e x = 0 ∴

x = ln ⁡ 2

Assim, para x = ln ⁡ 2 ≈ 0,693 , temos que y é:

y = - 3 + 13 + 8 0,693 - 4 e 0,693 2 ∴

y = 0,124

Dessa forma, o máximoo é dado em x , y = ln ⁡ 2 , 0,124

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

y = - 3 ± 13 + 8 x - 4 e x 2

x , y = ln ⁡ 2 , 0,124

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