Exercícios Resolvidos de EDO Linear de 1ª Ordem

EDO linear de 1ª Ordem

Resolva o problema de valor inicial abaixo, isto é, encontre a função ou as funções y x que satisfaz(em) a equação diferencial e as condições iniciais dadas.

x y ' + y = e x

y 1 = 2

Passo 1

Podemos perceber que essa é uma equação linear de 1 ª ordem. Então vamos ao passo a passo dela para resolver

Colocar a equação na forma y ' x + A x ⋅ y x = B ( x ) :

x y ' + y = e x

⇒ y ' + 1 x y = e x x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Encontrar A ( x ) e B ( x ) :

Pela equação vemos que

y ' x + A x ⋅ y x = B ( x ) y ' + 1 x y = e x x

⇒ A x = 1 x B x = e x x

Passo 3

Calcular a integral ∫ A x d x sem adicionar a constante:

∫ A x d x = ∫ 1 x   d x = ln ⁡ x

⇒ ∫ A x d x = ln ⁡ x

Passo 4

Calcular fator integrante:

I x = e ∫ A x d x = e ln ⁡ x

Lembrando das propriedades de logaritmo vamos ter

I x = x

Passo 5

Calcular a integral ∫ I x . B x d x sem adicionar a constante:

∫ x ⋅ e x x d x = ∫ e x   d x

∫ e x d x = e x

⇒ ∫ I x ⋅ B x d x = e x

Passo 6

Encontrar a solução:

y x = 1 I x ∫ I x . B x d x + c

⇒ y x = 1 x e x + c

⇒ y x = e x x + c x

Logo:

y x = e x x + c x

Passo 7

Vamos agora para o valor inicial,

y 1 = 2

y 1 = e 1 1 + c 1

2 = e + c

c = 2 - e

A equação vai ficar

y x = e x x + 2 - e x

Resposta

y x = e x x + 2 - e x

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