Exercícios Resolvidos de EDO Linear de 1ª Ordem

Encontre todas as soluções da EDO:

x 2 y ' + 3 x y = sen ⁡ x x ,     x < 0

Passo 1

Vamos começar isolando a derivada y ' aí no nosso problema. Para isso, dividimos tudo por x 2 :

y ' + 3 x y = sen ⁡ x x 3

Agora temos uma EDO na forma: y ' + A x y = B x

Com as funções de x :

A x = 3 x , B x = sen ⁡ x x 3

Isso significa que temos uma EDO Linear! Essa EDO terá solução na forma:

y x = 1 I x ∫ I x B x d x + C

Sendo I x o fator integrante dado por:

I x = e ∫ A x d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza, vamos então calcular o fator integrante I x . Começamos com a integral que está lá na exponencial:

∫ A x d x = ∫ 3 x d x = 3 ln ⁡ x

Deixamos assim sem a constante, porque ela já vai aparecer na solução final. Show, agora vamos para o fator integrante propriamente dito:

I x = e ∫ A x d x = e 3 ln ⁡ x

Podemos cortar a exponencial com o log, mas para isso vamos jogar o 3 para dentro dele usando a propriedade do peteleco:

I x = e ln ⁡ x 3 = x 3

Como temos x < 0 , então

x = - x ⟹ x 3 = - x 3

Ou seja, teremos: I x = - x 3

Passo 3

Legal, o fator integrante já foi. Vamos agora para a integral:

∫ I x B x d x = - ∫ x 3 sen ⁡ x x 3 d x = - ∫ sen ⁡ x d x

= cos ⁡ x

Passo 4

Agora é só substituir na solução geral:

y x = 1 I x ∫ I x B x d x + C

y x = - 1 x 3 cos ⁡ x + C = - cos ⁡ x + C x 3

E essa é nossa solução final. 😊

Resposta

y x = - cos ⁡ x + C x 3

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