A solução geral da equação diferencial abaixo é:

y '   - 2 y = 3 e t

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão. Nosso objetivo é obter a solução geral da equação diferencial

y '   - 2 y = 3 e t

Lembram como fazemos isso?

Para obtermos a solução geral, usamos o método do fator integrante. Que consiste em multiplicar a nossa equação por outra função para podermos simplificar a equação diferencial. O método funciona da seguinte forma:

Pegamos o lado esquerdo da equação diferencial y '   +   p ( x ) y   =   q ( x ) e multiplicamos por uma função μ ( x ) . Então temos:

y ' μ ( x )   +   p ( x ) y μ ( x )   =   q ( x ) μ ( x )

Agora vem a parte legal, nós supomos que a função μ ( x ) é tal que:

d ( y μ ( x ) ) d x = y ' μ ( x ) + y μ ' ( x ) = y ' μ ( x )   +   p ( x ) y μ ( x )

Ou seja, queremos que a derivada de y μ ( x ) seja igual a parte esquerda da nossa equação diferencial após multiplicarmos por μ . Isto é igual a y ' μ ( x )   +   p ( x ) y μ ( x ) . Dessa forma, podemos fazer o seguinte desenvolvimento.

y ' μ ( x ) + y μ ' ( x ) = y ' μ ( x )   +   p ( x ) y μ ( x )

⇒ μ ' ( x ) = p ( x ) μ ( x )

Que uma equação diferencial clássica. Temos que

μ ( x )   =   e ∫ p ( x ) d x

Essa μ é chamada de fator integrante. Depois que descobrimos quem é essa mu, basta substituir μ ( x ) em d ( y μ ( x ) ) d x = q ( x ) μ ( x ) e descobrimos quem é y . Vamos a luta!!!

Bacana, né? Vamos resolver a questão!!!

Passo 2

Como vimos no passo anterior, precisamos calcular o fator integrante que descobrimos que é:

μ ( x )   =   e ∫ p ( x ) d x

Como a equação que queremos resolver é

y '   - 2 y = 3 e t

Então temos que comparar com y '   +   p ( x ) y   =   q ( x ) , e assim vemos que:

q ( x ) = 3 e x

p ( x ) = - 2

Então

∫ p ( x ) d x = - 2 x

μ ( x ) = e - 2 x

Substituindo na equação

d ( y μ ( x ) ) d x = q ( x ) μ ( x )

d ( y e - 2 x ) d x = e - 2 x 3 e x

⇒ d ( y e - 2 x ) d x = 3 e - x

integrando dos dois lados temos:

y e - 2 x = - 3 e - x + C ,   C ∈ R

⇒ y = - 3 e x + C / e - 2 x

E dessa forma mostramos que a solução geral da equação diferencial é:

y = - 3 e x + C / e - 2 x

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

y = - 3 e x + C / e - 2 x

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