Nos problemas de (a) até (l), encontre a solução geral da equação diferencial dada. Dê o maior intervalo I sobre o qual a solução geral está definida.

j ) ( x + 1 ) d y d x + ( x + 2 ) y = 2 x e - x

Passo 1

E aí pessoal, beleza? Vou te ajudar nessa questão! Bora! Precisamos resolver essa equação diferencial ordinária aqui

x + 1 d y d x + x + 2 y = 2 x e - x

Vamos relembrar quais técnicas de resolução nós conhecemos (até agora):

  • Variáveis separáveis: para aplicar esse método precisamos jogar tudo que envolve x para um lado, tudo que envolve y para o outro e integrar! Mas infelizmente não conseguimos fazer isso com a nossa edo! (tenta você mesmo! Vai ver que não dá)
  • Fator integrante: para aplicar esse método precisamos que a edo esteja nesse formato aqui

y ' + P x y = Q ( x )

Essa é bem promissora! Mas calma! Antes de sair querendo a solução, precisamos arrumar nossa edo!

Se você olhar a nossa equação com carinho, vai ver que tem um y ali dando sopa! E é essa a nossa pista que nos leva ao método de solução de edo por fator integrante! Os outros coeficientes só dependem de x , então é esse mesmo o método!

x que deixam a solução inválida, tipo divisão por zero, logaritmo de número negativo, essas coisas

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Já descobrimos qual o método que vamos usar, agora é #partiusolução

No método de fator integrante, nós vamos chamar esse fator de μ e considerando que nossa edo está escrita assim

y ' + P x y = Q ( x )

Nosso fator integrante é

μ = e ∫ P ( x ) d x

μ , vamos fazer um passo de cada vez!

Nossa edo é

( x + 1 ) d y d x + ( x + 2 ) y = 2 x e - x

Vamos começar trocando d y d x por y ' e dividindo tudo por ( x + 1 )

y ' + x + 2 x + 1 y = 2 x e - x x + 1

E aqui vou usar um truque sujo: separar o numerador x + 2 em x + 1 + 1 : assim fico com dois termos que são ‘integráveis’ ali na frente do y

y ' + 1 + 1 x + 1 y = 2 x e - x x + 1

Pronto! Nossa edo já está no formato que queremos! Temos que

P x = 1 + 1 x + 1 ; Q x = 2 x e - x x + 1

E o nosso fator integrante fica assim

μ = e ∫ 1 + 1 x + 1 d x

Podemos separar esse expoente em duas integrais!

Aí temos

μ = e ∫ 1 + 1 x + 1 d x = e ∫ d x e ∫ 1 x + 1 d x = e x . e ln ⁡ ( x + 1 ) = x + 1 e x

Tudo bem até aqui?

Assim nosso fator integrante é

μ = x + 1 e x

Obs.: temos que o argumento do logaritmo deve ser sempre positivo, então nossa solução até então (podem surgir outras restrições) é válida para

x + 1 > 0 → x > - 1

Beleza?

Passo 3

Agora que calculamos nosso fator integrante, vamos para a solução! Sendo a equação diferencial assim

y ' + P x y = Q ( x )

y ( x ) via fator integrante é essa aqui

y μ = ∫ μ Q ( x ) d x

Por isso que precisávamos encontrar antes o fator integrante! Vamos recapitular! Nossa edo

y ' + 1 + 1 x + 1 y = 2 x e - x x + 1

Aí temos

P x = 1 + 1 x + 1 ; Q x = 2 x e - x x + 1

E o fator integrante μ

μ = x + 1 e x

Agora é substituir na solução y ( x ) !

y μ = ∫ μ Q ( x ) d x

y . x + 1 e x = ∫ x + 1 e x . 2 x e - x x + 1 d x

Agora basta resolver!

y . x + 1 e x = ∫ 2 x   d x = x 2 + c

Aí nossa solução fica assim

y = x 2 x + 1 e x + c x + 1 e x

y x = x 2 e - x x + 1 + c e - x x + 1

E o intervalo de validade? Só tivemos aquela restrição do logaritmo, então nossa solução é válida em

I = - 1 , ∞

E é isso! Acabou a questão! Vamos para a próxima?

Resposta

y x = x 2 e - x x + 1 + c e - x x + 1

I = - 1 , ∞

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Determine se a equação diferencial é linear.x y^' + ln x - x^2 y = 0