Nos problemas de (a) até (c), resolva o problema de valor inicial. Dê o maior intervalo I sobre o qual cada solução está definida

c ) x + 1 d y d x + y = ln ⁡ x ,   y 1 = 10  

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Vou te ajudar nessa questão! Bora! Precisamos resolver essa equação diferencial ordinária aqui

x + 1 d y d x + y = ln ⁡ x ,   y 1 = 10  

Você tasca o olho nessa equação e percebe que ela pode ser escrita como y ' + P x y = Q ( x )

E aí você logo lembra: Fator integrante! E é isso mesmo!

São duas as pistas que te ajudam a identificar que vamos usar esse método:

  • é que tem um y ali dando sopa!
  • Todos os coeficientes ou são constantes, ou dependem apenas de x !

Mas além de achar a solução geral, você vai precisar achar a particular! Foi dado um valor inicial

y 1 = 10

Não esqueça de encontrar o valor da constante ok?

Depois de achar a solução ainda precisamos ver o maior intervalo em que ela é válida! Lembrando que aqui você precisa tirar do intervalo valores de x que deixam a solução inválida, tipo divisão por zero, logaritmo de número negativo, essas coisas

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Já descobrimos qual o método que vamos usar, agora é #partiusolução

No método de fator integrante, nós vamos chamar esse fator de μ e considerando que nossa edo está escrita assim

y ' + P x y = Q ( x )

Nosso fator integrante é

μ = e ∫ P ( x ) d x

μ , vamos fazer um passo de cada vez!

Nossa edo é

x + 1 d y d x + y = ln ⁡ x

Vamos começar trocando d y d x por y ' e dividindo tudo por ( x + 1 )

y ' + 1 x + 1 y = ln ⁡ x ( x + 1 )

Pronto! Nossa edo já está no formato que queremos! Temos que

P x = 1 x + 1 ; Q x = ln ⁡ x ( x + 1 )

E o nosso fator integrante fica assim

μ = e ∫ 1 x + 1 d x

Para essa integral vamos chamar

u = x + 1

d u = d x

Aí temos

μ = e ∫ 1 x + 1 d x = e ∫ 1 u d u = e ln ⁡ u = u

E agora voltando para x

μ = u = ( x + 1 )

Tudo bem até aqui?

Assim nosso fator integrante é

μ = x + 1

Obs.: Até aqui temos uma restrição para o x . Nosso fator integrante veio de um logaritmo, certo? Então precisamos garantir que o argumento desse logaritmo seja positivo, assim

x + 1 > 0 → x > - 1 .

Você pode encontrar em outras questões, e aí precisa ir anotando tudo que o x não pode ser, ok?

Passo 3

Agora que calculamos nosso fator integrante, vamos para a solução! Sendo a equação diferencial assim

y ' + P x y = Q ( x )

y ( x ) via fator integrante é essa aqui

y μ = ∫ μ Q ( x ) d x

Por isso que precisávamos encontrar antes o fator integrante! Vamos recapitular! Nossa edo

y ' + 1 x + 1 y = ln ⁡ x ( x + 1 )

Aí temos

P x = 1 x + 1 ; Q x = ln ⁡ x ( x + 1 )

E o fator integrante μ

μ = x + 1

Agora é substituir na solução y ( x ) !

y μ = ∫ μ Q ( x ) d x

y . ( x + 1 ) = ∫ ( x + 1 ) . ln ⁡ x ( x + 1 ) d x

Agora basta resolver!

y . ( x + 1 ) = ∫ ln ⁡ x d x

Mas como resolver essa integral do lado direito?

Essa integral era resolvida pelo método de integração por partes, lá do cálculo, naqueles tempos longínquos. Você lembra como escolher u e d v ? Através desse esquema aqui, saca só:

Assim temos que

u = ln ⁡ x → d u = d x

d v = d x → v = x

Aplicando por partes

na nossa integral

∫ ln ⁡ x d x = x ln ⁡ x - ∫ x   d x = x ln ⁡ x - x 2 + c

Tudo bem até aqui?

Aí nossa solução fica assim

y . ( x + 1 ) = ∫ ln ⁡ x d x

y . x + 1 = x ln ⁡ x - x 2 + c

y x = x ln ⁡ x x + 1 - x 2 x + 1 + c x + 1

Beleza?

Ufa! Estamos quase lá!

Passo 4

Nosso próximo passo é determinar quem é aquela constante c na solução: e isso vamos fazer através do valor inicial

y 1 = 10

Na nossa solução

y x = x ln ⁡ x x + 1 - x 2 x + 1 + c x + 1

y 1 = 1 ln ⁡ 1 1 + 1 - 1 2 1 + 1 + c 1 + 1 = 10

- 1 2 + c 2 = 10

- 1 + c = 20 → c = 21

Oba! Encontramos nossa solução particular

y x = x ln ⁡ x x + 1 - x 2 x + 1 + 21 x + 1

E o intervalo de validade? Como dividimos pela função ( x + 1 ) lá no começo, e esse termo era argumento de um logaritmo, precisamos garantir que ( x + 1 ) ≠ 0 e x + 1 > 0 , e isso ocorre no maior intervalo entre

I = - 1 ,   + ∞

E é isso! Acabou a questão! Vamos para a próxima?

Resposta

y x = x ln ⁡ x x + 1 - x 2 x + 1 + 21 x + 1

I = - 1 ,   + ∞

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Resolva a equação diferencial:y^' = x e^(x - y) c o s s e c y
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Determine se a equação diferencial é linear.x y + sqrt(x) = e^x y '
Determine se a equação diferencial é linear.x y^' + ln x - x^2 y = 0