Para cada equação abaixo encontre a solução do problema de valor inicial em forma explícita.

f) y ' = 2 x / ( 1 + 2 y ) , y 2 = 0 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá uma equação diferencial e nos pede para usarmos a condição inicial y 2 = 0 para encontrarmos a solução da equação.

Mas como podemos fazer isso?

Como estamos estudando equações diferenciais, vamos manipular algebricamente a expressão dada com derivadas e integrais para, dessa forma, encontrarmos constantes.

Daí, vamos usar a condição inicial para encontrarmos a solução da equação, belezinha?

Então bora junto aqui!!

Passo 2

Bom... temos que:

d y d x = 2 x 1 + 2 y ∴

Separando a equação e integrando, temos:

∫ ( 1 + 2 y ) d y = ∫ 2 x d x ∴

y + y 2 + c ' = x 2 + c ' ' ∴

y 2 + y - x 2 + c = 0

Resolvendo essa equação do 2º grau, temos:

y = - 1 ± 4 x 2 + c 2

Passo 3

Dessa forma, aplicando a condição inicial y 2 = 0 , temos:

0 = - 1 4 ( 2 ) 2 + c 2 ∴

0 = - 1 ± 16 + c

Passo 4

Detalhe: Na expressão, o resultado é obtido quando c = - 15 e o sinal da raiz é positivo.

Dessa forma, o resultado é dado por:

y = - 1 + 4 x 2 - 15 2

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

y = - 1 + 4 x 2 - 15 2

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Resolva a equação diferencial.y^' = (e^y)/(x y)
Resolva a equação diferencial:y^' = x e^(x - y) c o s s e c y
Resolva o problema de valor inicial.t (d u)/(d t) = t^2 + 3 u , t0 , u (2) = 4
Determine se a equação diferencial é linear.x y + sqrt(x) = e^x y '
Determine se a equação diferencial é linear.x y^' + ln x - x^2 y = 0