Exercícios Resolvidos de EDO Linear de 1ª Ordem

James Stewart, Cálculo Vol. 2, 6ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010, página 630

Encontre a solução do PVI abaixo:

x 2 y ' + x y = 1 y 1 = 0 x > 0

Passo 1

Colocar a equação na forma y ' x + p x y x = g ( x ) :

x 2 y ' + x y = 1

Para que o coeficiente do termo y ' seja 1 devemos dividir tudo por x 2 :

1 x 2 ( x 2 y ' + x y ) = 1 x 2 ( 1 )

Como colocamos o termo x 2 no denominador, temos que dizer que é diferente de zero:

x 2 0

x 0

Mas como no próprio enunciado do problema ele já diz que x > 0 , então tudo em paz! x já não poderia ser zero de qualquer maneira!

y ' + 1 x y = 1 x 2

y ' x + 1 x y x = 1 x 2

Legal! Chegamos à forma que queríamos!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Encontrar A ( x ) e B ( x ) :

Comparando as duas equações:

y ' x + A x y x = B ( x ) y ' x + 1 x y x = 1 x 2

A x = 1 x B x = 1 x 2

Passo 3

Calcular a integral A x d x sem adicionar a constante:

A x d x = 1 x d x = ln | x |

Como x > 0 , então x = x .

Então, nesse caso temos que

A x   d x = ln x

Passo 4

Calcular I x :

I x = e A x d x = e ln x

I x = x

Passo 5

Calcular B ( x ) I ( x ) d x sem adicionar a constante!

B ( x ) I ( x ) d x = 1 x 2 . x d x = d x x

d x x = ln x

B ( x ) I ( x ) d x = ln x

Passo 6

Encontrar a solução:

y x = 1 I x I x B x d x + C

y x = 1 x ln x + c

y ( x ) = 1 x ( ln x + c )

Passo 7

Encontrar solução particular caso seja um PVI:

y 1 = 0

Substituindo x = 1 na solução geral:

y 1 = 1 1 ln 1 + c = 1 ( 0 + c )

y 1 = c

Substituindo na condição inicial:

y 1 = 0

c = 0

Substituindo a constante na solução geral:

y x = 1 x ( ln x + c )

y x = 1 x ln x

Resposta

y x = 1 x ln x

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