Determine a solução geral da equação

y ' + 1 x y = cos ⁡ x

Passo 1

Essa equação tem uma cara muito parecida com a da EDO linear de 1 ª ordem, isso porque ela é.

Então vamos resolver essa EDO, primeiro temos que colocar essa equação na forma da linear

y ' x + A x ∙ y x = B x

Neste caso ela já está dessa forma,

y ' + 1 x y = cos ⁡ x

Isso diz que

A x = 1 x

E

B x = cos ⁡ x

Passo 2

Agora temos que achar

∫ A x d x

∫ 1 x d x = ln ⁡ x

Passo 3

Agora vamos achar I x

I x = e ∫ A x d x = e ln ⁡ x

I x = e ln ⁡ x

I x = x

Vamos considerar x > 0

I x = x

Passo 4

Agora temos que resolver a integral sem adicionar a constante:

∫ I x ⋅ B x d x

∫ x cos ⁡ x d x

Resolvendo por partes:

u = x ⇒ d u = 1

d v = cos ⁡ x ⇒ v = sen ⁡ x

∫ x cos ⁡ x d x = x sen ⁡ x - ∫ sen ⁡ x = x sen ⁡ x + cos ⁡ x

Passo 5

Por fim:

y x = 1 I x ∫ I x ⋅ B x d x + C

y x = 1 x x sen ⁡ x + cos ⁡ x + C = sen ⁡ x + cos ⁡ x x + C x

Resposta

y x = sen ⁡ x + cos ⁡ x x + C x

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