Determine os valores de m para que a função y = e m x seja uma solução para a equação diferencial y ' ' + 10 y ' + 25 y = 0 .

O valor numérico de m obtido é:

Passo 1

Pra resolver essa questão, a gente precisa derivar a solução dada e substituir as derivadas na equação. E daí vamos ficar com uma expressão toda em m , e assim vamos conseguir encontrar seu valor. Beleza?

A candidata a solução é:

y = e m x

E as derivadas:

y ' = m e m x

y ' ' = m 2 e m x

Passo 2

Agora é só substituir na eq. Dif:

y ' ' + 10 y ' + 25 y = 0

m 2 e m x + 10 m e m x + 25 e m x = 0

e m x m 2 + 10 m + 25 = 0

Como e m x ≠ 0 para qualquer m , então temos que a expressão dentro dos colchetes precisa ser zero: m 2 + 10 m + 25 = 0

Passo 3

Encontramos uma equação de segundo grau e a solução é por bháskara:

m = - ( 10 ) ± ( 10 ) 2 - 4.1 . ( 25 ) 2.1 = - 10 ± 0 2 = - 5

Os valores de m (raízes da equação) são iguais, então temos que m = - 5 .

Resposta

m = - 5

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