Exercícios Resolvidos de EDO Linear de 1ª Ordem

EDO linear de 1ª ordem

Determine a solução geral da equação y ' + 1 x y = arcsen ⁡ ( x )

Passo 1

Olhando pra cara do rapaz, a gente ve que separável não é, mas ela tem a cara exata de uma EDO linear de primeira ordem! Então vamos identificar:

A x = 1 x B x = arcsen ⁡ ( x )

Agora é o método padrão pra resolução de EDO linear de primeira ordem!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Integrar:

∫ A x d x = ∫ 1 x d x = ln ⁡ x = ln ⁡ x

Então:

I x = e ln ⁡ x = x

Agora repara que nossa solução vai ser algo do tipo:

y x = 1 I x ∫ I x ⋅ B x d x + C = ∫ arcsen ⁡ x x d x x + C x

Repara que não interessa se x é positivo ou negativo. Se x > 0 :

y x = ∫ arcsen ⁡ x x   d x x + C x

Se x < 0 :

- ∫ arcsen ⁡ x x   d x - x - C x

Os sinais de vão se cancelar e a constante vai ficar com o sinal trocado, mas a cara da nossa solução geral continua igual 😉

Passo 3

Então vamos calcular a integral abaixo agora tirando o módulo:

∫ I x ⋅ B x d x = ∫ arcsen ⁡ ( x ) . x d x

Então, para calcular esse rapaz vamos precisar fazer uma integração por partes:

u = arcsen ⁡ ( x ) → d u = 1 1 - x 2

d v = x → v = x 2 2

Substituindo:

∫ arcsen ⁡ ( x ) . x d x = x 2 2 arcsen ⁡ ( x ) - 1 2 ∫ x 2 1 - x 2 d x

Para resolver essa outra integral a gente faz uma substituição trigonométrica

∫ x 2 1 - x 2 d x = ?

Fazendo essa substituição aqui:

x 2 = sen 2 ⁡ ( θ ) → x = sen ⁡ ( θ ) → d x = cos ⁡ ( θ ) d θ

E agente já sabe que 1 - sen 2 ⁡ θ = cos 2 ⁡ θ , certo?

Vamos substituir isso:

∫ x 2 1 - x 2 d x = ∫ sen 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ cos 2 ⁡ θ = ∫ sen 2 ⁡ θ d θ

Mas:

sen 2 ⁡ ( θ ) = 1 - cos ⁡ 2 θ 2

Então fica:

∫ 1 - cos ⁡ 2 θ 2 d θ = x 2 - sen ⁡ 2 θ 4 = θ 2 - sen ⁡ θ cos ⁡ θ 2

A gente sabe que :

x 2 = sen 2 ⁡ θ → x 2 - 1 = sen 2 ⁡ θ - 1 = - cos 2 ⁡ θ

Então fica:

cos 2 ⁡ θ = - x 2 - 1 = 1 - x 2 → cos ⁡ θ = 1 - x 2

E também que x = sen ⁡ θ → arcsen ⁡ ( x ) = θ

Então voltando:

∫ 1 - cos ⁡ 2 θ 2 d θ = θ 2 - sen ⁡ θ cos ⁡ θ = arcsen ⁡ ( x ) 2 - x 1 - x 2 2

Então a conclusão é que:

∫ x 2 1 - x 2 d x = arcsen ⁡ ( x ) 2 - x 1 - x 2 2

Então:

∫ I x ⋅ B x d x = x 2 2 arcsen ⁡ ( x ) - 1 2 arcsen ⁡ x 2 - x 1 - x 2 2

UFA! Mas que bicho feio em?! Fazer o que né, bora fechar essa questão!

Passo 4

E por fim:

y x = 1 I x ∫ I x ⋅ B x d x + C

y x = 1 x x 2 2 arcsen ⁡ ( x ) - 1 2 arcsen ⁡ x 2 - x 1 - x 2 2 + C

y x = x 2 arcsen ⁡ x - arcsen ⁡ ( x ) 4 x + 1 - x 2 4 + C x

E fechou!

Resposta

y x = x 2 - 1 4 x arcsen ⁡ ( x ) + 1 - x 2 4 + C x

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