01) Considere um circuito R C onde a força eletromotriz é uma constante E , a capacitância é uma constante C e a resistência aumenta linearmente, de modo que R = R 0 + a t . Temos que as quedas de tensão no capacitor e na resistência são dadas, respectivamente, por C q ( t ) e R q ' ( t ) , onde q ( t ) é a carga no capacitor. A segunda Lei de Kirchoff diz que a soma das quedas de tensão em um circuito é igual à força eletromotriz.

a) Mostre que a carga q ( t ) satisfaz uma equação da forma q ' t + p t q t = g ( t ) . Mostre também que a carga constante q t = E C é uma solução, conhecida como carga estacionária.

Para os próximos itens considere E = 12 ,   C = 6 ,   R 0 = 1 ,   a = 2 .

b) Encontre uma primitiva P ( t ) de p ( t ) e determine e P t e também e - P t .

c) Obtenha a solução geral q ( t ) da equação determinada no primeiro item.

d) Determine a solução com carga inicial q 0 = q 0 . Mostre que, para qualquer carga inicial, após muito tempo decorrido a carga q ( t ) se aproxima da carga estacionária, isto é, mostre que lim t → ∞ ⁡ q t = E C = 2 .

Passo 1

Faaaala galera!! Tudo certo com vocês?

a) Calma, vocês não estão na página errada, essa questão é de cálculo 2 mesmo hahaha!

Aqui temos um probleminha de circuito RC, mas não precisamos de conhecimento físico para resolvê-lo.

Nesse primeiro item precisamos mostrar que q ( t ) obedece a uma EDO do tipo:

q ' t + p t q t = g ( t )

Ou seja, uma EDO linear de 1 ° ordem.

Para isso, o enunciado nos fala que pela segunda lei de Kirchoff, a soma das quedas de tensão em um circuito é igual à força eletromotriz.

Como C q ( t ) e R q ' ( t ) são as quedas de tensão no capacitor e no resistor, respectivamente; e E é a força eletromotriz do circuito, podemos escrever que:

R q ' t + C q t = E

Como a resistência varia com o tempo segundo a R = R 0 + a t , podemos reescrever a equação. Daí:

( R 0 + a t ) q ' t + C q t = E

Agora é só a gente ajeitar os detalhes pra deixar no formato pedido da questão. Dividindo os dois lados por ( R 0 + a t ) , vem:

q ' t + C R 0 + a t q t = E R 0 + a t

Prontinho, sendo p t = C R 0 + a t e g t = E R 0 + a t , conseguimos mostrar que q ( t ) obedece à EDO do tipo q ' t + p t q t = g ( t )

Além disso, também precisamos mostrar que q t = E / C , constante com o passar do tempo, é solução da EDO. Para isso, basta mostrar que a EDO acima é obedecida quando fazemos q t = E / C .

Já que q ( t ) é constante nesse caso, q ' t = 0 . Substituindo essas informações temos:

q ' t + C R 0 + a t ⋅ q t = 0 + C R 0 + a t ⋅ E C

= E R 0 + a t = g ( t )

Massa! Mostramos que essa solução obedece a equação do problema 😉

Passo 2

b) Agora temos alguns valores dados: E = 12 ,   C = 6 ,   R 0 = 1 ,   a = 2 .

A questão nos pede para determinar uma primitiva de p ( t ) e depois calcular e ± P t . Ou seja, inicialmente temos que calcular:

P t =   ∫ p ( t ) d t

Lembra que, pelo item anterior, temos:

p t = C R 0 + a t  

Substituindo os novos dados desse item, ficamos com:

p t = 6 1 + 2 t

Logo:

P t = ∫ 6 1 + 2 t d t

⇒ P t = 3 ⋅ ln ⁡ 1 + 2 t + A

Como só queremos uma primitiva, vamos considerar A = 0 .

Daí, só pra deixar mais bonitinho e facilitar a próxima parte, vamos fazer:

P t = ln ⁡ 1 + 2 t 3

Agora, podemos calcular e ± P t . Assim:

e P t = e ln ⁡ 1 + 2 t 3 = 1 + 2 t 3

e - P t = e - ln ⁡ 1 + 2 t 3 = 1 1 + 2 t 3

Excelente! Lá se foi mais um item 😊

Passo 3

c) Aqui devemos calcular a solução geral da EDO:

q ' t + C R 0 + a t q t = E R 0 + a t

Considerando E = 12 ,   C = 6 ,   R 0 = 1 ,   a = 2 , temos:

q ' t + 6 1 + 2 t q t = 12 1 + 2 t

Temos uma EDO linear de 1 °   ordem não-homogênea. Vocês lembram como podemos resolvê-la?

O bizu galera é lembrar que em equações do tipo:

q ' t + p t q t = g ( t )

A solução geral é dada por:

q t = e - P t ⋅ ∫ g t ⋅ e P t d t

Pra achar isso é só aquela técnica do fator integrante, tão ligados?

Mas beleza, bora calcular os termos da solução geral. Pelo item anterior, sabemos que:

e - P t = 1 + 2 t - 3

Massa! Agora vamo calcular essa integral.

∫ g t ⋅ e P t d t = ∫ 12 1 + 2 t ⋅ 1 + 2 t 3 d t

= 12 ∫ 1 + 2 t 2 d t

Usando a mudança de variável, podemos fazer:

u = 1 + 2 t  

∴ d u = 2 d t

Logo:

12 ∫ 1 + 2 t 2 d t = 6 ∫ u 2 d u

= 6 ⋅ u 3 3 + B

Substituindo de volta, chegamos que:

∫ g t ⋅ e P t d t = 2 1 + 2 t 3 + B

Juntando tudo na solução geral, temos:

q t = 1 1 + 2 t 3 ⋅ 2 1 + 2 t 3 + B

Pra finalizar, a solução geral é da forma:

q t = 2 + B 1 + 2 t 3

Passo 4

Nesse último item precisamos calcular a solução particular quando q 0 = 0 , e mostrar lim t → ∞ ⁡ q ( t ) = E C = 2 .

Vamos por partes! No item anterior encontramos a solução geral da forma:

q t = 2 + B 1 + 2 t 3

Usando q 0 = q 0 , vem que:

q 0 = 2 + B

⇒ B = q 0 - 2

Logo, o que a questão tá pedindo pra gente é justamente:

q t = 2 + q 0 - 2 1 + 2 t 3  

Top! Pra terminar de matar de vez essa questão é só calcular:

lim t → ∞ ⁡ q ( t ) = lim t → ∞ ⁡ 2 + q 0 - 2 1 + 2 t 3

O negócio é perceber que quando t → ∞ , no segundo termo do nosso limite, algo limitado no numerador dividido por um número gigante no denominador. Isso dá zero! Por isso:

lim t → ∞ ⁡ q ( t ) = 2

Que é exatamente o que estávamos querendo mostrar 😊

Então é isso, espero que vocês tenham entendido bem direitinho.

Até a próxima, tamo junto!

Resposta

a) Resolução no texto.

b) P t = ln ⁡ 1 + 2 t 3

c) q t = 2 + B 1 + 2 t 3

d)

q t = 2 + q 0 - 2 1 + 2 t 3

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