A solução do problema de valor inicial é:

t y '   + 2 y = s i n ( t ) ,   y ( π / 2 ) = 1

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão. Nosso objetivo é solução do problema de valor inicial

t y '   + 2 y = s i n ( t ) ,   y ( π / 2 ) = 1

Lembram como fazemos isso?

Primeiro, precisamos obter a solução geral da equação diferencial. Para obtermos a solução geral, usamos o método do fator integrante. Que consiste em multiplicar a nossa equação por outra função para podermos simplificar a equação diferencial. O método funciona da seguinte forma:

Pegamos o lado esquerdo da equação diferencial y '   +   p ( x ) y   =   q ( x ) e multiplicamos por uma função μ ( x ) . Então temos:

y ' μ ( x )   +   p ( x ) y μ ( x )   =   q ( x ) μ ( x )

Agora vem a parte legal, nós supomos que a função μ ( x ) é tal que:

d ( y μ ( x ) ) d x = y ' μ ( x ) + y μ ' ( x ) = y ' μ ( x )   +   p ( x ) y μ ( x )

Ou seja, temos que

y ' μ ( x ) + y μ ' ( x ) = y ' μ ( x )   +   p ( x ) y μ ( x )

⇒ μ ' ( x ) = p ( x ) μ ( x )

Que uma equação diferencial clássica. Temos que

μ ( x )   =   e ∫ p ( x ) d x

Essa mu é chamada de fator integrante. Depois que descobrimos quem é essa mu, basta substituir μ ( x ) em d ( y μ ( x ) ) d x = q ( x ) μ ( x ) e descobrimos quem é y .

E, por fim, descobrimos a constante integração usando o valor da função em um ponto.

Bacana, né? Vamos resolver a questão!!!

Passo 2

Como vimo no passo anterior, precisamos calcular o fator integrante que descobrimos que é:

μ ( x )   =   e ∫ p ( x ) d x

Como a equação que queremos resolver é

t y '   + 2 y = s i n ( t ) ,   y ( π / 2 ) = 1

Vamos colocar a equação na forma

y '   +   p ( t ) y   =   q ( t )

Então temos que:

t y '   + 2 y = s i n ( t ) ,   y ( π / 2 ) = 1

⇒ y '   + 2 y / t = s i n ( t ) / t ,   y ( π / 2 ) = 1

Dessa forma,

q ( t ) = s i n ( t ) / t

p ( t ) = 2 / t

⇒ ∫ p ( t ) d t = 2 l n ( t )

⇒ μ ( t ) = e 2 l n ( t )

= t 2

Substituindo na equação

d ( y μ ( t ) ) d t = q ( t ) μ ( t )

temos:

d ( y t 2 ) d t = s i n ( t ) t 2 / t

⇒ d ( y t 2 ) d t = s i n ( t ) t

integrando dos dois lados temos:

y t 2 = s i n ( t ) - t c o s ( t ) + C ,   C ∈ R

⇒ y = s i n ( t ) / t 2 - c o s ( t ) / t + C / t 2

E dessa forma mostramos que a solução geral da equação diferencial é:

y = s i n ( t ) / t 2 - c o s ( t ) / t + C / t 2

Passo 3

No passo anterior, descobrimos que a solução geral da equação

t y '   + 2 y = s i n ( t ) ,   y ( π / 2 ) = 1

é:

⇒ y = s i n ( t ) / t 2 - c o s ( t ) / t + C / t 2

Mas, queremos a solução do problema de valor inicial. Então precisamos descobrir qual é a constante C em y . Bem, é informado que y ( π / 2 ) = 1 , então:

y ( π / 2 ) = s i n ( π / 2 ) / ( π 2 / 4 ) + C / ( π 2 / 4 ) = 1

⇒ 1 / ( π 2 / 4 )   + C / ( π 2 / 4 ) = 1

⇒ C = ( π 2 / 4 ) - 1

Dessa forma, a solução do problema inicial

t y '   + 2 y = s i n ( t ) ,   y ( π / 2 ) = 1

é:

y = s i n ( t ) / t 2 - c o s ( t ) / t + π 2 / 4 t 2

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

y = s i n ( t ) / t 2 - c o s ( t ) / t + π 2 / 4 t 2

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Determine se a equação diferencial é linear.x y + sqrt(x) = e^x y '
Determine se a equação diferencial é linear.x y^' + ln x - x^2 y = 0