Ache a solução geral da equação seguinte:

x y ' + 2 y = x 2 - x + 1

Passo 1

Bom, para resolver essa EDO

x y ' + 2 y = x 2 - x + 1

Começamos por dividir tudo por x .

y ' + 2 x y = x - 1 + 1 x

Passo 2

Como temos uma EDO de primeira ordem, que não é separável, vamos resolver pelo método do fator integrante. Comparando com a forma habitual, temos

A x = 2 x ,     B x = x - 1 + 1 x

Passo 3

O fator integrante é dado por:

I x = e ∫ A x d x = e ∫ 2 x d x = e 2 ln ⁡ x = e ln ⁡ x 2 = x 2

Passo 4

Calculando ∫ I x B x d x

∫ x 2 x - 1 + 1 x d x = ∫ x 3 d x - ∫ x 2 d x + ∫ x d x

∫ I x B x d x = x 4 4 - x 3 3 + x 2 2

Passo 5

Usando a nossa fórmula

y x = 1 I x ∫ I x ⋅ B x d x + c

y x = 1 x 2 x 4 4 - x 3 3 + x 2 2 + C

y = x 2 4 - x 3 + 1 2 + C x 2

Resposta

y = x 2 4 - x 3 + 1 2 + C x 2

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