2) Resolva o problema de valor inicial, y 0 = 1 , para EDO

d y d t = y + t

Passo 1

Iae! Como vai, meu querido? 😁 Bora aprender mais uma questão? 😉

Nesse problema temos que obter a solução para o problema de valor inicial da EDO

d y d t = y + t → y ' - y = t

Sabendo que y 0 = 1 .

Parece difícil? 😐

Nesse caso, temos uma EDO linear de primeira ordem y ' + p t y = g t .

Pra obter a solução, temos que primeiramente calcular o fator integrante

r t = e ∫ p t d t

E depois aplicamos a solução

y t = 1 r t ∫ r t · g t d t

Sacou? Bora começar! 😎

Passo 2

Calculando o fator integrante sabendo que p t = - 1

r t = e ∫ p t d t

r t = e ∫ - 1 d t

r t = e - t

Por enquanto podemos ignorar a constante de integração

Calculando a solução com g t = t

y t = 1 r t ∫ r t · g t d t

y t = 1 e - t ∫ e - t · t d t

Pelo método de integração por partes, vamos obter

y t = e t - t e t - 1 e t + C

y t = - t - 1 + C e t

No enunciado foi dito que y 0 = 1 , então substituindo t = 1 e igualando a 1

y 0 = 1 = - 0 - 1 + C e 0

C = 2

Assim, a solução do problema é

y t = - t - 1 + 2 e t

Pegou o esquema? Responde Aí! 😁

Resposta

y t = - t - 1 + 2 e t

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