A solução geral da equação diferencial abaixo é:

t y '   + 2 y = s i n ( t ) ,   t > 0

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão. Nosso objetivo é obter a solução geral da equação diferencial

t y '   + 2 y = s i n ( t ) ,   t > 0

Lembram como fazemos isso?

Para obtermos a solução geral, usamos o método do fator integrante. Que consiste em multiplicar a nossa equação por outra função para podermos simplificar a equação diferencial. O método funciona da seguinte forma:

Pegamos o lado esquerdo da equação diferencial y '   +   p ( x ) y   =   q ( x ) e multiplicamos por uma função μ ( x ) . Então temos:

y ' μ ( x )   +   p ( x ) y μ ( x )   =   q ( x ) μ ( x )

Agora vem a parte legal, nós supomos que a função μ ( x ) é tal que:

d ( y μ ( x ) ) d x = y ' μ ( x ) + y μ ' ( x ) = y ' μ ( x )   +   p ( x ) y μ ( x )

Ou seja, queremos que a derivada de y μ ( x ) seja igual a parte esquerda da nossa equação diferencial após multiplicarmos por μ . Isto é igual a y ' μ ( x )   +   p ( x ) y μ ( x ) . Dessa forma, podemos fazer o seguinte desenvolvimento.

y ' μ ( x ) + y μ ' ( x ) = y ' μ ( x )   +   p ( x ) y μ ( x )

⇒ μ ' ( x ) = p ( x ) μ ( x )

Que uma equação diferencial clássica. Temos que

μ ( x )   =   e ∫ p ( x ) d x

Essa mu é chamada de fator integrante. Depois que descobrimos quem é essa μ ( x ) , basta substituir μ ( x ) em d ( y μ ( x ) ) d x = q ( x ) μ ( x ) e descobrimos quem é y . Vamos a luta!!!

Bacana, né? Vamos resolver a questão!!!

Passo 2

Como vimos no passo anterior, precisamos calcular o fator integrante que descobrimos que é:

μ ( x )   =   e ∫ p ( x ) d x

Como a equação que queremos resolver é

t y '   + 2 y = s i n ( t ) ,   t > 0

Vamos colocar ela na forma

y '   +   p ( t ) y   =   q ( t )

Então temos que:

t y '   + 2 y = s i n ( t ) ,   t > 0

⇒ y '   + 2 y / t = s i n ( t ) / t

Nessa forma, temos que:

q ( t ) = s i n ( t ) / t

p ( t ) = 2 / t

⇒ ∫ p ( t ) d t = ∫ 2 / t d t

= 2 l n ( t )

⇒ μ ( t ) = e 2 l n ( t )

= t 2

Substituindo na equação

d ( y μ ( t ) ) d t = q ( t ) μ ( t )

d ( y e 2 l n ( t ) ) d t = s i n ( t ) t 2 / t

⇒ d ( y e 2 l n ( t ) ) d t = s i n ( t ) t

integrando dos dois lados temos:

y t 2 = s i n ( t ) - t c o s ( t ) + C ,   C ∈ R

⇒ y = s i n ( t ) / t 2 - c o s ( t ) / t + C / t 2 ,

E dessa forma mostramos que a solução geral da equação diferencial é:

y = s i n ( t ) / t 2 - c o s ( t ) / t + C / t 2

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

y = s i n ( t ) / t 2 - c o s ( t ) / t + C / t 2

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