04) Num foguete, se o empuxo é uma constante d , a taxa de variação de sua massa é constante, de modo que m t = m 0 - a t . Se o foguete não atinge uma altura muito elevada, podemos supor que a gravidade é uma constante g e que a força de arraste do ar é dada por - b v ( t ) , proporcional à velocidade v ( t ) do foguete. Segue que a força que atua no foguete é dada por:

F =   - m t g - b v t + d

Neste caso, a segunda lei de Newton é dada por:

m t v t ' = F

a) Mostre que v ( t ) satisfaz uma equação da forma v ' t + p t v t = g ( t ) .

Para os próximos itens considere g = 10 ,   b = 1 ,   d = 100 ,   m 0 = 1 ,   a = 2 .

b) Encontre uma primitiva P ( t ) de p ( t ) e determine e P t e também e - P t .

c) Obtenha a solução geral v ( t ) da equação determinada no primeiro item.

d) Determine a solução v ( t ) com velocidade inicial v 0 = 0 . Para que valores de t ≥ 0 a velocidade v ( t ) está definida?

Passo 1

Faaaaala galerinha, todo mundo animado pra matar mais uma questão?

a) Esse exercício traz um contexto física interessante envolvendo a força de resistência do ar para treinarmos as EDO’s. Basicamente, precisamos mostrar que v ( t ) se encaixa na EDO do tipo:

v ' t + p t v t = g ( t )

Massa! Pra conseguir chegar nisso recebemos duas equações:

F =   - m t g - b v t + d F = m t v t '  

Assim, aplicando a regra da cadeia na segunda equação, temos:

m t v t ' = m ' t v t + m t v ' ( t )

Como m t = m 0 - a t . Substituindo nas nossas duas equações, vem:

F = - m 0 - a t g - b v t + d F =   - a v t + m 0 - a t v ' t

Igualando as duas, temos:

- a v t + m 0 - a t v ' t = - m 0 - a t g - b v t + d  

⇒ ( m 0 - a t ) v ' t + b - a v t = - m 0 - a t g + d

Pra ficar no formato que a gente quer, bora dividir os dois lados por ( m 0 - a t ) . Vem:

v ' t + b - a m 0 - a t v t =   - g + d m 0 - a t

Olha que massa! Agora, chamando p t = b - a m 0 - a t   e g t = - g + d m 0 - a t   , e reescrevendo a equação em v ' ( t ) , ficamos com:

v ' t + p t v t = g ( t )

O que é exatamente o queríamos mostrar! 😊

Passo 2

b) Aqui temos alguns dados numéricos importantes: g = 10 ,   b = 1 ,   d = 100 ,   m 0 = 1 ,   a = 2

devemos determinar uma primitiva P ( t ) de p ( t ) e calcular as exponenciais e P t , e - P t .

Mas vocês lembram como calcular a primitiva de uma função?

A primitiva de uma função nada mais é que a sua integral. Assim:

P t =   ∫ p t d t

Substituindo a função p ( t ) que achamos no item a, temos:

P t = ∫ b - a m 0 - a t d t

Fazendo u = m 0 - a t , vem d u = - a d t . Assim:

P t = - b - a a ⋅ ∫ 1 u d u

Lembrando que a massa é sempre positiva, vem:

P t =   - b - a a ⋅ l n ⁡ ( m 0 - a t )

Substituindo os dados numéricos:

P t =   - 1 - 2 2 ⋅ l n ⁡ ( 1 - 2 t )

Logo:

P t = 1 2 ⋅ ln ⁡ 1 - 2 t

Top! A primeira parte já foi. Calculando agora as exponenciais, temos:

e P t = e 1 2 ⋅ ln ⁡ 1 - 2 t = 1 - 2 t 1 2  

e - P t = 1 e P t   = 1 - 2 t - 1 / 2  

Passo 3

c) Nesse item precisamos calcular a solução geral da EDO desenvolvida no item a.

v ' t + b - a m 0 - a t v t =   - g + d m 0 - a t

Substituindo os dados numéricos:

v ' t - 1 1 - 2 t v t =   - 10 + 100 1 - 2 t

Essa equação é uma EDO linear de 1 ° ordem. Vocês lembram como podemos resolvê-la?

Basicamente, temos uma solução geral para equações do tipo:

v ' t + p t v t = g ( t )

Ela vale:

v t = e - P t ∫ e P t ⋅ g t d t

Daí, como:

e P t = 1 - 2 t 1 2  

e - P t = 1 - 2 t - 1 2

g t =   - 10 + 100 1 - 2 t

Substituindo na equação, vem:

v t = 1 1 - 2 t 1 / 2 ⋅ ∫ 1 + 2 t 1 2 ⋅ - 10 + 100 1 - 2 t d t

Logo:

v t =   1 1 - 2 t 1 2 ⋅ - 10 ∫ 1 - 2 t 1 2 d t + 100 ∫ 1 - 2 t - 1 2 d t  

Em ambas as integrais, podemos fazer:

u = 1 - 2 t

∴ d u = - 2 d t

Logo:

v t =   1 1 - 2 t 1 2 ⋅ - 10 - 2 ∫ u 1 2 d u + 100 - 2 ∫ u - 1 2 d u  

Assim, temos:

v t = 1 1 - 2 t 1 2 ⋅ 5 ⋅ 2 3 1 - 2 t 3 2 - 50 ⋅ 2 ⋅ 1 - 2 t 1 2 + B

v t = 1 1 - 2 t 1 2 ⋅ 10 3 1 - 2 t 3 2 - 100 ⋅ 1 - 2 t 1 2 + B  

Por fim:

v t = 10 3 ⋅ 1 - 2 t - 100 + B 1 - 2 t 1 2

Prontinho, deum um certo trabalho, mas conseguimos finalizar! Bora pro último item.

Passo 4

d) Pra finalizar a questão, precisamos apenas calcular a solução particular v ( t ) para a condição inicial v 0 = 0 , e determinar os valores de t > 0 para os quais v ( t ) está definida.

v 0 = 10 3 - 100 + B = 0

∴ B = 100 - 10 3

B = 290 3

Voltando na nossa solução geral, temos:

v t = 10 3 ⋅ 1 - 2 t - 100 + 290 3 1 - 2 t 1 2

Para que v ( t ) esteja definida, ou seja exista, a função que determinamos precisa ser válida. Olhando para a nossa função v ( t ) , onde poderíamos ter problema?

É exatamente na raiz quadrada no denominador, pois além dela não poder ser negativa, como está no denominador também não pode ser nula. Assim:

1 - 2 t > 0

Logo:

t < 1 2

Ou seja, para que v ( t ) seja definido, precisamos ter t < 1 / 2 .

Prontinho gente! Espero que vocês tenham entendido bem.

Até a próxima 😉

Resposta

a) Resolução no texto.

b) P t = 1 2 ⋅ ln ⁡ 1 - 2 t

c) v t = 10 3 ⋅ 1 - 2 t - 100 + B 1 - 2 t 1 2

d) v t = 10 3 ⋅ 1 - 2 t - 100 + 290 3 1 - 2 t 1 2

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Determine se a equação diferencial é linear.x y^' + ln x - x^2 y = 0