Considere o problema de valor inicial t y ' + 2 y = 4 t 2 , y 1 = 2 . O valor de y 2 é igual a

(a) 1 2

(b) 13 4

(c) 11 2

(d) 17 4

(e) - 1

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa questão temos uma EDO linear de primeira ordem no estilo

p t y ' + g t t = h t

temos que obter sua solução com base no valor inicial y 1 = 2 e obter o valor da solução aplicada em x = 2 .

Quando temos uma EDO desse tipo, seguimos um passo a passo para obter a solução.

Lembra como fazemos para obter a solução nesse caso?? 🤔

O primeiro de tudo é reescrever a função fazendo com que tenhamos y ' multiplicado por 1 , logo temos que manipular nossa EDO pra obter isso.

Aqui é nosso ponto de início. Bora começar? 😁

Passo 2

Para eliminar p t do nosso y ' podemos dividir os dois lados da equação por ele, não é?

t y ' t + 2 y t = 4 t 2 t

y ' + 2 t y = 4 t

Agora que o índice multiplicado por y ' é 1 , podemos iniciar o passo a passo!

Primeiro identificamos m t e n t no caso y ' + m t y = n t

Então

m t = 2 t n t = 4 t

Com isso, a gente calcula o fator integrante pela formula

u t = e ∫ m t d t

Podemos desconsiderar a constante C no fim desta integração

u t = e ∫ 2 t d t

Calculando a integral de 2 / t pelo teorema fundamental do cálculo, temos

∫ 2 t d t = 2 ln ⁡ t

Substituindo em u t

u t = e 2 ln ⁡ t

Por propriedade logarítmica e exponencial

u t = e 2 ln ⁡ t = t 2

Logo nosso fator integrante é

u t = t 2

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Depois disso, a gente aplica uma formula para obter a solução

y t = 1 u t ∫ u t n t d t + C

Substituindo os dados que temos

y t = 1 t 2 ∫ t 2 4 t d t + C

y t = 1 t 2 ∫ 4 t 3 d t + C

Por integração polinomial, a integral de 4 t 3 é dada somando 1 no expoente de t e o dividindo pelo resultado da soma

y t = 1 t 2 4 t 3 + 1 3 + 1 + C

y t = 1 t 2 4 t 4 4 + C

y t = 1 t 2 t 4 + C

Logo a solução é dada como

y t = t 2 + C t 2

Agora, como nosso problema possui um valor inicial, vamos obter o valor de C .

Pra isso, no enunciado foi dito que y 1 = 2 . O que podemos fazer para usar essa informação?

Passo 4

Podemos substituir t por 1 e como y 1 = 2 , vamos obter

y 1 = 2 = 1 2 + C 1 2

C = 1

Ou seja, nossa solução completa é dada por

y t = t 2 + 1 t 2

Por fim, queremos descobrir o resultado de y 2 !

Substituindo t por 2 , temos

y 2 = 2 2 + 1 2 2

y 2 = 4 + 1 4

Manipulando 4 , temos

y 2 = 16 4 + 1 4

y 2 = 17 4

Logo encontramos o resultado 17 / 4 , ou seja, a alternativa correta é a letra (d)!

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

y 2 = 17 4

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