05) Vamos investigar a dinâmica, num dado país, da relação entre a renda Y ( t ) produzida no tempo t e o capital K ( t ) acumulado até o tempo t através do famoso modelo Solow-Swan. Temos que a renda é dada por uma função Cobb-Douglas do capital e do trabalho, de modo que:

Y t = A K t a L t 1 - a

E que o capital se acumula por uma taxa de poupança constante positiva s e se deprecia a uma taxa constante positiva d , de modo que:

K ' t = s Y t - d K ( t )

Denotando a renda e o capital per capita, respectivamente, por y t = Y ( t ) / L ( t ) e por k t = K ( t ) / L ( t ) , a taxa de crescimento do trabalho por l t = L ' ( t ) / L ( t ) , a razão riqueza pela renda no tempo t por β t = K t Y t = k ( t ) / y ( t ) e o seu limite quando t tende por infinito por β , responda os seguintes itens.

a) Mostre que k ' t = K ' t L t - l t k ( t ) .

b) Use o item anterior para mostrar que k ' t = s y t - l t + d k ( t ) .

c) Mostre que β t = k t 1 - a / A e conclua que β ' t = 1 - a k ' ( t ) / y ( t ) .

d) Use os itens anteriores para mostrar que β ' t 1 - a = s - l t + d β t .

e) Supondo que l t = g constante e que β 0 =   β 0 , mostre que:

β t = s g + d + β 0 - s g + d e - 1 - a g + d t

f) Conclua que β = s g + d .

Passo 1

Eaí galeraa, tudo tranquilo com vocês?

a) Essa questão assusta um pouco porque tem infinitas variáveis, com infinitas equações, e a gente fica meio perdido quando lê ela pela primeira vez (e na segunda e terceira também né?! Haha).

Mas sem pânico!

O negócio é ir por partes!

No item a é pedido para mostrarmos que

k ' t = K ' t L t - l t k t

Como é que a gente pode fazer isso?

Bom, primeiro bora olhar no meio de tanta equação quais que envolvem k ( t ) ou k ' ( t ) . Tem duas:

k t = K ( t ) / L ( t )

β t = K t Y t = k ( t ) / y ( t )

Pô, essa segunda não tem muito a ver com o que queremos provar, nem aparece L ( t ) nela por exemplo. Então vamo usar a primeira.

Pra começar vamos calcular k ' ( t ) pela regra do quociente, daí temos:

k ' t = K ' t L t + K t ⋅ - L ' t L t 2

⇒ k ' t =   K ' t L t - L ' ( t ) K t L t 2

Massa! Vamo olhar de novo pro que queremos provar:

k ' t = K ' t L t - l t k t

Vê que o primeiro termo já tá igual. Precisamos só mexer nesse segundo. Basicamente, queremos chegar em:

L ' ( t ) K t L t 2 = l t k ( t )

Então, vamo procurar no enunciado alguma equação que envolva l ( t ) .

l t = L ' t L t

Perfeito, se usarmos ela no lado esquerdo da nossa equação, temos:

L ' ( t ) K t L t 2 = l t ⋅ K t L t

Mas k t = K t L t . Assim, temos:

L ' ( t ) K t L t 2 = l t ⋅ k ( t )

Voltando à equação que encontramos ao aplicar a regra do quociente na derivação de k ( t ) , temos:

k ' t =   K ' t L t - L ' t K t L t 2

Aí agora é só substituir o resultado top que achamos:

k ' t = K ' t L t - l t k ( t )

Como queríamos demonstrar (c.q.d)!

Prontinho, bora pra próxima 😊

Passo 2

b) Nesse item devemos mostrar que:

k ' t = s y t - l t + d k t

Mas po, pelo resultado do item anterior, o que realmente estamos querendo mostrar é que:

K ' t L t - l t k t = s y t - l t + d k t

Vamos partir do lado esquerdo e chegar no lado direito, beleza?

Bora pensar um pouco. No lado direito está aparecendo s e d , então temos que procurar no enunciado uma equação que envolva esses dois termos. Tem apenas uma, que é:

K ' t = s Y t - d K ( t )

Perfeito! Podemos substituir K ' ( t ) por essa expressão, daí:

K ' t L t - l t k t = s Y t - d K ( t ) L t - l t k t

= s ⋅ Y t L t - d ⋅ K t L t - l t k ( t )

Mas, pelo enunciado, lembra que:

Y t L t = y ( t )

K t L t = k ( t )

Substituindo na equação, temos:

s ⋅ Y t L t - d ⋅ K t L t - l t k t = s ⋅ y t - d k t - l t k ( t )

k ' t = s ⋅ y t - l t + d k ( t )

O que é exatamente onde queríamos chegar!

Excelente, matamos mais um item 😊

Passo 3

c) Agora a brincadeira muda um pouco de variável. Queremos mostrar que:

β t = k t 1 - a / A

Bom, pelo enunciado a gente sabe que:

β t = k t y t

Mas sabemos também que:

y t = K t L t

= A K t a L t 1 - a L t = A K t L t a

Como k t = K ( t ) / L ( t ) , podemos escrever que:

y t = A ⋅ k t a

Substituindo esse resultado na nossa equação para β ( t ) , temos:

k t y t = k t A k t a  

Logo:

β t = k t 1 - a / A

Boa, matamos a primeira parte.

Agora devemos mostrar também que:

β ' t = 1 - a k ' ( t ) / y ( t )

Massa! Para isso, vamos derivar o resultado que encontramos anteriormente.

β ' t = k t 1 - a A '

β ' t = 1 - a ⋅ k t - a ⋅ k ' t A

= 1 - a ⋅ k ' t A ⋅ k t a

Mas lembra que no começo desse item encontramos:

y t = A k t a

Substituindo em β ' ( t ) , chegamos a:

β ' t = 1 - a ⋅ k ' t y t

Excelente, demonstramos mais uma expressão 😊

Passo 4

d) Vamos terminar essa questão craques em demonstração de expressões hein galera?!

Dessa vez precisamos mostrar que:

β ' t 1 - a = s - l t + d β t

A ideia vai ser partir do lado esquerdo e chegar no lado direito da equação.

Nos aproveitando do resultado do item anterior, temos:

β ' t = 1 - a ⋅ k ' t y t

Daí:

β ' t 1 - a = k ' t y t

Mas, lá do resultado do item do item b, temos que:

k ' t =   s ⋅ y t - l t + d k ( t )

Substituindo esse resultado, temos:

β ' t 1 - a = s ⋅ y t - l t + d k t y t  

= s - l t + d ⋅ k t y t

Aí já pra matar esse item de uma vez, sabemos que β t = k ( t ) / y ( t ) . Assim:

β ' t 1 - a =   s - l t + d ⋅ β ( t )

c.q.d

Muito bom pessoal!

Passo 5

e) O enunciado nos pede para, considerando l t = g , calcularmos a solução do PVI:

β ' t 1 - a =   s - g + d ⋅ β ( t ) β 0 =   β 0

Mostrando que essa solução vale:

β t = s g + d + β 0 - s g + d e - 1 - a g + d t

Beleza! Bora lá.

Rearranjando nossa equação diferencial, temos:

β ' t = 1 - a ⋅ s - 1 - a g + d ⋅ β ( t )

⇒   β ' t + 1 - a g + d ⋅ β t = 1 - a ⋅ s

Sabe o que é issooo?

Uma EDO linear de 1 ° ordem. Sempre que temos uma equação do tipo:

β ' t + p t β t = g ( t )

trata-se de uma EDO linear de 1 ° ordem, cuja solução geral é dada por:

β t = e - P t ∫ e P t g t d t

Onde P t =   ∫ p ( t ) d t .

Massa! Então, pela equação que encontramos para esse caso, temos:

p t = ( 1 - a ) ( g + d )

g t = 1 - a ⋅ s

Logo:

P t =   ∫ ( 1 - a ) ( g + d ) d t

P t = 1 - a g + d t

Além disso, também devemos calcular:

∫ e P t ⋅ g t d t =   ∫ e 1 - a g + d t 1 - a s d t

= 1 - a s ⋅ ∫ e 1 - a g + d t d t

= 1 - a s ⋅ 1 1 - a g + d ⋅ e 1 - a g + d + B

= s g + d ⋅ e 1 - a g + d + B

Show! Agora, podemos substituir esses resultados na nossa solução geral, teremos:

β t =   e - 1 - a g + d t ⋅ s g + d ⋅ e 1 - a g + d + B

β t = s g + d + B ⋅ e - 1 - a g + d t

Top! Essa é a solução geral levando em conta os parâmetros da questão. Substituindo a condição inicial, podemos determinar a constante B .

β 0 =   β 0

⇒ s g + d + B =   β 0

∴ B =   β 0 - s g + d

Substituindo de volta na solução geral, teremos a solução particular:

β t = s g + d + β 0 - s g + d   ̇ e - 1 - a g + d t

Prontinho 😊

É exatamente o que o enunciado pediu.

Passo 6

f) Pra finalizar devemos mostrar que β = s g + d .

Só que pelo enunciado, β = lim t → ∞ ⁡ β ( t ) . Então:

lim t → ∞ ⁡ β ( t ) = lim t → ∞ ⁡ s g + d + β 0 - s g + d ˙ e - 1 - a g + d t

= s g + d + lim t → ∞ ⁡ β 0 - s g + d ˙ e - 1 - a g + d t

Mas esse limite é do tipo limitado/infinito, logo vale zero. Assim:

β = s g + d  

Como queríamos demonstrar 😊

Perfeito, galera! Viram que a questão tem muita informação, muitas variáveis, mas é só ir com calma, item por item, equação por equação, que dá tudo certo 😉

Até a próxima!

Resposta

a) Resolução no texto.

b) Resolução no texto.

c) Resolução no texto.

d) Resolução no texto.

e) Resolução no texto.

f) Resolução no texto.

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