( a ) Resolva o problema de valor inicial ( P V I ) dado abaixo y = y ( x ) :

x 3 d y d x + x 2 y - x 2 cos ⁡ x = 0 ,     x > 0 y π 2 = 0

Passo 1

Show! Temos aqui uma EDO de 1 ª ordem linear. Lembra da solução desse tipo de EDO?

y x = 1 I x ∫ B x I x d x + C

Onde:

I x = e ∫ A x d x

A única condição é que a nossa EDO esteja escrita na forma y ' + A x y = B ( x ) . Vamos reescrever desse jeito:

x 3 y ' + x 2 y - x 2 cos ⁡ x = 0

y ' + 1 x y = 1 x cos ⁡ x

Então bora colocar a mão na massa!

Passo 2

Identificando os termos:

A x = 1 x B x = 1 x cos ⁡ x

Calculando:

∫ A x d x = ∫ 1 x d x = ln ⁡ x

Então:

I x = e ∫ A x d x = e ln ⁡ x = x

Perceba que ficamos com x porque a questão disse que x > 0 , então podemos ignorar o módulo!

Passo 3

Estamos quase no fim! Vamos calcular mais uma integral:

∫ B x I x d x = ∫ 1 x cos ⁡ x x d x = ∫ cos ⁡ x d x = sen ⁡ x

Passo 4

Maneiro! Agora vamos substituir tudo na solução geral:

y x = 1 x sen ⁡ x + C

Passo 5

Usando a condição inicial para descobrir quem é a constante C :

y π 2 = 0

y π 2 = 1 π 2 sen ⁡ π 2 + C = 0

2 π 1 + C = 0

1 + C = 0 → C = - 1

Portanto, a solução do nosso problema será:

y x = 1 x sen ⁡ x - 1

Resposta

a   y x = 1 x sen ⁡ x - 1

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