A solução geral da equação diferencial abaixo é:

y '   - 2 t y = 2 t e - t 2

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão. Nosso objetivo é obter a solução geral da equação diferencial

y '   - 2 t y = 2 t e - t 2

Lembram como fazemos isso?

Para obtermos a solução geral, usamos o método do fator integrante. Que consiste em multiplicar a nossa equação por outra função para podermos simplificar a equação diferencial. O método funciona da seguinte forma:

Pegamos o lado esquerdo da equação diferencial y '   +   p ( x ) y   =   q ( x ) e multiplicamos por uma função μ ( x ) . Então temos:

y ' μ ( x )   +   p ( x ) y μ ( x )   =   q ( x ) μ ( x )

Agora vem a parte legal, nós supomos que a função μ ( x ) é tal que:

d ( y μ ( x ) ) d x = y ' μ ( x ) + y μ ' ( x ) = y ' μ ( x )   +   p ( x ) y μ ( x )

Ou seja, temos que

y ' μ ( x ) + y μ ' ( x ) = y ' μ ( x )   +   p ( x ) y μ ( x )

⇒ μ ' ( x ) = p ( x ) μ ( x )

Que uma equação diferencial clássica. Temos que

μ ( x )   =   e ∫ p ( x ) d x

Essa mu é chamada de fator integrante. Depois que descobrimos quem é essa mu, basta substituir μ ( x ) em d ( y μ ( x ) ) d x = q ( x ) μ ( x ) e descobrimos quem é y . Vamos a luta!!!

Bacana, né? Vamos resolver a questão!!!

Passo 2

Como vimo no passo anterior, precisamos calcular o fator integrante que descobrimos que é:

μ ( x )   =   e ∫ p ( x ) d x

Como a equação que queremos resolver é

y '   - 2 t y = 2 t e - t 2

Então temos que:

q ( t ) = 2 t e - t 2

p ( t ) = - 2 t

⇒ ∫ p ( t ) d t = - t 2

⇒ μ ( t ) = e - t 2

Substituindo na equação

d ( y μ ( t ) ) d t = q ( t ) μ ( t )

d ( y e - t 2 ) d t = 2 t e - t 2 e - t 2

⇒ d ( y e - t 2 ) d t = 2 t e - 2 t 2

integrando dos dois lados temos:

y e - t 2 = - e - 2 t 2 / 2 + C ,   C ∈ R

⇒ y = - e - t / 2 + C / e - t 2

E dessa forma mostramos que a solução geral da equação diferencial é:

y = - e - t / 2 + C / e - t 2

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

y = - e - t / 2 + C / e - t 2

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