A solução geral da equação diferencial abaixo é:

t y '   - y = t 2 e - t

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão. Nosso objetivo é obter a solução geral da equação diferencial

t y '   - y = t 2 e - t

Lembram como fazemos isso?

Para obtermos a solução geral, usamos o método do fator integrante. Que consiste em multiplicar a nossa equação por outra função para podermos simplificar a equação diferencial. O método funciona da seguinte forma:

Pegamos o lado esquerdo da equação diferencial y '   +   p ( x ) y   =   q ( x ) e multiplicamos por uma função μ ( x ) . Então temos:

y ' μ ( x )   +   p ( x ) y μ ( x )   =   q ( x ) μ ( x )

Agora vem a parte legal, nós supomos que a função μ ( x ) é tal que:

d ( y μ ( x ) ) d x = y ' μ ( x ) + y μ ' ( x ) = y ' μ ( x )   +   p ( x ) y μ ( x )

Ou seja, temos que

y ' μ ( x ) + y μ ' ( x ) = y ' μ ( x )   +   p ( x ) y μ ( x )

⇒ μ ' ( x ) = p ( x ) μ ( x )

Que uma equação diferencial clássica. Temos que

μ ( x )   =   e ∫ p ( x ) d x

Essa mu é chamada de fator integrante. Depois que descobrimos quem é essa mu, basta substituir μ ( x ) em d ( y μ ( x ) ) d x = q ( x ) μ ( x ) e descobrimos quem é y . Vamos a luta!!!

Bacana, né? Vamos resolver a questão!!!

Passo 2

Como vimo no passo anterior, precisamos calcular o fator integrante que descobrimos que é:

μ ( x )   =   e ∫ p ( x ) d x

Como a equação que queremos resolver é

t y '   - y = t 2 e - t

Vamos colocar ela na forma

y '   +   p ( t ) y   =   q ( t )

Então temos que:

t y '   - y = t 2 e - t

⇒ y '   - y / t = t e - t

Nessa forma, temos que:

q ( t ) = t e - t

p ( t ) = - 1 / t

⇒ ∫ p ( t ) d t = ∫ - 1 / t d t

= - l n ( t )

⇒ μ ( t ) = e - l n ( t )

= 1 / t

Substituindo na equação

d ( y μ ( t ) ) d t = q ( t ) μ ( t )

d ( y / t ) d t = e - t t / t

⇒ d ( y / t ) d t = e - t

integrando dos dois lados temos:

y / t = - e - t + C ,   C ∈ R

⇒ y = - e - t / t + C / t

E dessa forma mostramos que a solução geral da equação diferencial é:

y = - e - t / t + C / t

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

y = - e - t / t + C / t

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