Nos problemas de (a) até (l), encontre a solução geral da equação diferencial dada. Dê o maior intervalo I sobre o qual a solução geral está definida.

h ) y d x - 4 x + y 6 d y = 0  

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar! Precisamos resolver essa equação diferencial ordinária aqui

y d x - 4 x + y 6 d y = 0

Vamos relembrar quais técnicas de resolução nós conhecemos:

  • Variáveis separáveis: para aplicar esse método precisamos jogar tudo que envolve x para um lado, tudo que envolve y para o outro e integrar! Mas infelizmente não conseguimos fazer isso com a nossa edo! (tenta você mesmo! Vai ver que não dá)
  • Fator integrante: para aplicar esse método precisamos que a edo esteja nesse formato aqui

y ' + P x y = Q ( x )

Taí, beleza! É esse então? Não é bem por aí...

Mas calma! Tem um jeito alternativo! Para aplicar esse método, a edo também pode estar escrita assim

x ' + P y x = Q ( y )

E se você olhar a nossa equação com carinho, vai ver que tem um x ali dando sopa! E é essa a nossa pista que nos leva ao método de solução de edo por fator integrante!

y que deixam a solução inválida, tipo divisão por zero, logaritmo de número negativo, essas coisas

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Já descobrimos qual o método que vamos usar, agora é #partiusolução

No método de fator integrante, nós vamos chamar esse fator de μ e considerando que nossa edo está escrita assim

x ' + P y x = Q ( y )

Nosso fator integrante é

μ = e ∫ P ( y ) d y

Beleza? Essa é nossa primeira missão! Achar o fator integrante! No passo seguinte te mostro qual é a solução! Mas como ela envolve esse μ , vamos fazer um passo de cada vez!

Nossa edo é

y d x - 4 x + y 6 d y = 0

Vamos começar dividindo tudo por y d y (aqui precisamos remover o y = 0 ) da solução:

d x d y - 4 y x - 4 y 5 = 0

E agora passar a parte que depende apenas em y para o outro lado da equação e chamar d x d y = x ' :

x ' - 4 y = 4 y 5

Pronto! Temos que

P y = - 4 y ; Q y = 4 y 5

E o nosso fator integrante fica assim

μ = e - 4 ∫ d y y = e - 4 ln ⁡ y = e ln ⁡ y - 4 = y - 4

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Agora que calculamos nosso fator integrante, vamos para a solução! Sendo a equação diferencial assim

x ' + P y x = Q ( y )

A solução via fator integrante é essa aqui

x μ = ∫ μ Q ( y ) d y

Por isso que precisávamos encontrar antes o fator integrante! Vamos recapitular! Nossa edo

x ' - 4 y = 4 y 5

Aí temos

P y = - 4 y ; Q y = 4 y 5

E o fator integrante μ

μ = y - 4

Agora é substituir na solução x ( y ) !

x μ = ∫ μ Q ( y ) d y

x y - 4 = ∫ y - 4 . 4 y 5 d y

Agora basta resolver!

x y - 4 = ∫ 4 y d y = 4 y 2 2 + c

Aí nossa solução fica assim

x = 2 y 2 y - 4 + c y - 4

x y = 2 y 6 + c y 4

E o intervalo de validade? Lembra que retiramos o y = 0 ? No nosso fator integrante surgiu um ln ⁡ y , então precisamos garantir que esse y seja positivo, sendo assim

I = ( 0 , + ∞ )

Ufa! Agora sim! Terminamos! Espero ter ajudado!

Até próxima!

Resposta

x y = 2 y 6 + c y 4

I = ( 0 , + ∞ )

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