Encontre o valor de y 0 para o qual a solução do problema de valor inicial:

y ' - y = 1 + 3 s i n ( t ) ,   y ( 0 ) = y 0

permanece finita quando t → ∞

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão. Nosso objetivo é descobrir y 0 de forma que a solução do problema de valor inicial

y ' - y = 1 + 3 s i n ( t ) ,   y ( 0 ) = y 0

Seja finita quando t → ∞

Como podemos começar a resolver essa questão?

Primeiro, precisamos obter a solução geral da equação diferencial. Para obtermos a solução geral, usamos o método do fator integrante. Que consiste em multiplicar a nossa equação por outra função μ ( t ) para podermos simplificar a equação diferencial. Lembrando que

μ ( t )   =   e ∫ p ( t ) d t

Vamos obter a solução geral da equação diferencial. A equação é:

y ' - y = 1 + 3 s i n ( t ) ,   y ( 0 ) = y 0

q ( t ) = 1 + 3 s i n ( t )

p ( t ) = - 1

∫ p ( t ) d t = - t

Logo, temos que

μ ( t )   =   e ∫ p ( t ) d t

⇒ μ ( t )   =   e - t

Agora, precisamos substituir μ ( t ) na equação

d ( y μ ( t ) ) d t = q ( t ) μ ( t )

temos:

d ( y e - t ) d t = ( 1 + 3 s i n ( t ) ) * e - t

Agora, integramos dos dois lados da equação

y e - t = - e - t - 3 2 e - t ( s i n ( t ) + c o s ( t ) ) + C

⇒ y = - 1 - 3 2 ( s i n ( t ) + c o s ( t ) ) + C e t

Ou seja, a solução geral da nossa equação é:

y = - 1 - 3 2 ( s i n ( t ) + c o s ( t ) ) + C e t

Passo 2

Como vimos no passo anterior, a solução geral da equação diferencial

y ' - y = 1 + 3 s i n ( t )

é:

y = - 1 - 3 2 ( s i n ( t ) + c o s ( t ) ) + C e t

Agora, precisamos levar em consideração o problema de valor inicial, isto é precisamos descobrir quem é y 0 para que a função y seja finita quando t → ∞ . lembrando que   y ( 0 ) = y 0 . Como podemos abordar esse problema?

Vamos descobrir qual deve ser o valor de C para verificar se a função é finita quando t → ∞

y = - 1 - 3 2 ( s i n ( t ) + c o s ( t ) ) + C e t

Vamos analisar os termos que dependem de t . Os senos e cossenos são funções limitadas, logo quando t → ∞ esse termo ainda será finito. Então, só sobra o termo C e t , que cresce ilimitadamente quando t → ∞ . Logo precisamos fazer com que esse termo fique finito, como fazemos isso? Fazemos C = 0 . Simples, né? Então a solução geral fica

y = - 1 - 3 2 ( s i n ( t ) + c o s ( t ) )

E com isso

  y ( 0 ) = y 0

⇒ y ( 0 )   =   - 1 - 3 2 ( 0 + 1 )

= - 5 / 2

Com isso, chegamos a conclusão que y 0 = - 5 / 2

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

- 5 / 2

Exercícios de Livros Relacionados

Resolva a equação diferencial.y^' = (e^y)/(x y)
Resolva a equação diferencial:y^' = x e^(x - y) c o s s e c y
Resolva o problema de valor inicial.t (d u)/(d t) = t^2 + 3 u , t0 , u (2) = 4
Determine se a equação diferencial é linear.x y + sqrt(x) = e^x y '
Determine se a equação diferencial é linear.x y^' + ln x - x^2 y = 0