01) A temperatura de equilíbrio T ( P ) em um ponto P de uma chapa circular feita com um material uniforme pode ser escrita em função das coordenadas polares ( r ,   θ ) , de P , onde r é a distância entre o ponto P e a origem O e θ é o ângulo formado entre o eixo x e o segmento O P . Temos que θ varia em [ 0 ,   2 π ] e que r varia em [ 0 , R ] , onde R é o raio da chapa. Note que o conjunto dos pontos tais que r é constante formam uma circunferência.

Escrevendo a temperatura em P como produto de duas funções T P = y θ z ( r ) , é possível mostrar que as funções y ( θ ) e z ( r ) satisfazem as seguintes equações diferenciais:

y ' ' θ - y t θ = ν = r 2 z ' ' r +   r z ' r z r

Onde ν é uma constante positiva. O objetivo dessa questão é resolver essas duas equações diferenciais e estudar suas soluções.

a) Mostre que y θ satisfaz a equação y ' ' θ + ν y t = 0 . Determine os valores de a > 0 tais que y 1 θ = c o s c o s   a θ   e y 2 θ = s e n ( a θ ) são soluções fundamentais dessa equação.

b) Use o fato de que ( r , 0 ) e ( r ,   2 π ) representam o mesmo ponto P na chapa, para concluir que y ( 0 ) = y ( 2 π ) . Use esse fato para concluir que ν = λ 2 , para algum inteiro λ ≥ 0 .

c) Mostre que z ( r ) satisfaz a equação r 2 z ' ' r + r z ' r - λ 2 z r = 0 , r > 0 , conhecida como equação de Euler. Determine os valores de b tais que z r = r b é solução da equação de Euler.

d) Use o item anterior para obter a solução geral da equação de Euler. Verifique que qualquer solução que não é proporcional à solução r λ possui assíntota vertical em r = 0 .

Passo 1

Faaala pessoal, como vocês estão?

a) Nessa questão temos um contexto físico bem interessante ilustrando uma das aplicações das EDO’s.

Pra resolvê-la não precisamos ficar presos aos conceitos físicos envolvidos, é só partir direto para as equações e resolvê-las, beleza?!

Nesse item a devemos mostrar que y ( θ ) satisfaz a EDO y ' ' θ + ν y t = 0 , e depois determinar os valores de a que fazem y 1 θ = c o s ⁡ ( a θ ) e y 2 θ = s e n ( a θ ) soluções fundamentais da EDO.

Vamos por partes!

Sabemos que:

y ' ' θ - y θ = ν

Daí:

y ' ' θ = - ν y θ

⇒ y ' ' θ + ν y θ = 0

Massa! Conseguimos mostrar a primeira parte.

Agora precisamos determinar a para que y 1 θ = c o s c o s   a θ   e y 2 θ = s e n ( a θ ) sejam soluções fundamentais. Como podemos fazer isso?

Então, se que y 1 e y 2 devem ser soluções fundamentais da equação, precisa ser verdade que:

y 1 ' ' +   v y 1 = 0

y 2 ' ' + v y 2 = 0

Começando por y 1 temos:

y 1 = c o s c o s   a θ  

⇒ y 1 ' =   - a s e n ( a θ )

∴ y 1 ' ' =   - a 2 c o s ⁡ ( a θ )

Logo:

- a 2 c o s c o s   a θ   + v c o s a θ = 0

v - a 2 c o s c o s   a θ   = 0

∴ a 2 = v  

Como a > 0 :

⇒ a = v

Assim:

y 1 θ = c o s c o s   v θ  

Agora para y 2 , temos:

y 2 = s e n ( a θ )

y 2 ' = a c o s ⁡ ( a θ )

y 2 ' ' =   - a 2 s e n a θ

Logo:

- a 2 s e n a θ + ν a θ   = 0  

v - a 2 s e n a θ = 0

∴ a 2 = v

Como a > 0 :

a = v

Assim:

y 2 θ = s e n ( v θ )

Massa, conseguimos determinar a para y 1 e y 2 que os tornam soluções da EDO. Mas para serem soluções fundamentais, o que precisamos mostrar?

Basta mostrar que o wronskiano W y 1 θ ,   y 2 θ ≠ 0 .

Lembra que:

W y 1 θ ,   y 2 θ = d e t d e t   y 1   y 2   y 1 '   y 2 '    

Assim:

W y 1 θ ,   y 2 θ = c o s ⁡ ( v θ )   s e n ( v θ )   - v s e n ⁡ ( v θ )   v c o s ( v θ )  

= v v θ + s e n 2 v θ   = v

Portanto, realmente W y 1 θ ,   y 2 θ > 0 , ficando provado que y 1 e y 2 são soluções fundamentais.

Passo 2

b) Basicamente, nesse item precisamos demonstrar duas coisas:

y 0 = y ( 2 π )

v = λ 2 ,       para algum inteiro λ ≥ 0 .

Para nos ajudar, a questão fala que ( r , 0 ) e ( r , 2 π ) representam o mesmo ponto na chapa P .

Beleza, mas como podemos usar essa informação?

O negócio é pensar que, como representam o mesmo ponto, a temperatura é a mesma. Sabemos que a temperatura no ponto P é dada por

T P = y θ z ( r )

Assim, teremos:

y 0 ⋅ z r = y 2 π z ( r )

Como vale para todo r < R , tem que ser válido:

y 0 = y ( 2 π )

Top! Conseguimos mostrar a primeira parte.

Lembra agora que no item a encontramos duas soluções ditas soluções fundamentais? Isso significa que podemos escrever uma solução geral como sendo:

y θ = c 1 c o s c o s   v θ   + c 2 s e n ⁡ ( v θ )

Daí, temos:

c 1 c o s c o s   0   + c 2 0   =   c 1 c o s c o s   v 2 π   + c 2 s e n ⁡ ( v 2 π )

c 1 = c 1 c o s c o s   v 2 π   + c 2 s e n ⁡ ( v 2 π )  

Como isso tem que ser válido para qualquer solução, ou seja, para qualquer c 1 e c 2 , podemos escolher os mais convenientes. Assim, tomando c 1 = 1 e c 2 = 0 , vem:

c o s c o s   v 2 π   = 1

Logo, 2 π v deve ser um múltiplo inteiro de 2 π . O que nos permite escrever:

2 π v = 2 π λ

Onde λ ∈ Z + .

Por fim, chegamos que:

v = λ 2

Que é exatamente o que queríamos mostrar 😊

Passo 3

c) Então galera, nesse item precisamos fazer duas coisas também:

  1. Mostrar que z ( r ) satisfaz a equação r 2 z ' ' r + r z ' r - λ 2 z r = 0
  2. Determinar b para que r b seja solução de da EDO acima.

Bom, vamos começar pela primeira parte. Por causa do enunciado, nós sabemos que:

ν = r 2 z ' ' r +   r z ' r z r

⇒   r 2 z ' ' r +   r z ' r = v ⋅ z ( r )

Lembrando que no item anterior, mostramos que v = λ 2 . Daí, substituindo, temos:

r 2 z ' ' r +   r z ' r -   λ 2 z r = 0

Perfeito! Já mostramos a primeira parte.

Agora, para determinar os valores de b que fazem r b solução da EDO, o que podemos fazer?

Então, a ideia quando queremos determinar soluções pelo “chute” é substituirmos na EDO e ver o que acontece. Bora lá!

r 2 ⋅ b b - 1 r b - 2   + r ⋅ b r b - 1 - λ 2 r b = 0

⇒     r b b b - 1 + b - λ 2 = 0

Não faz sentido termos r b = 0 , então devemos ter:

b b - 1 + b - λ 2 = 0

⇒ b 2 - λ 2 = 0

∴     b = ± λ

Com isso, temos duas soluções possíveis:

z 1 r = r λ

z 2 r = r - λ

Prontinho 😊

Passo 4

Calma galerinha, já estamos no último item uhuuul!

d)

Precisamos primeiramente determinar a solução geral da EDO em z ( r ) , chamada equação de Euler. Bora começar verificando se as soluções z 1 ( r ) e z 2 ( r ) são fundamentais. Como vimos no item b, basta verificar se W z 1 ,   z 2 ≠ 0 . Assim:

W r λ ,   r - λ = d e t r λ   r - λ   λ r λ - 1   - λ r - λ - 1  

W r λ ,   r - λ =   - 2 λ r - 1 ≠ 0

Portanto, essas soluções são fundamentais. Assim, podemos escrever a solução geral de z ( r ) como sendo uma combinação linear delas. Logo:

z r = c 1 r λ + c 2 r - λ

Excelente! A primeira parte já foi.

Agora pra encerrar de vez essa questão, devemos mostrar que qualquer solução que não é proporcional a r λ possui assíntota vertical em r = 0 .

Beleza, pensa comigo, nós acabamos de encontrar que:

z r = c 1 r λ + c 2 r - λ

Daí, se a solução não é proporcional a r λ , devemos ter c 2 ≠ 0 . Logo, quando r tende a 0 , temos:

z ( r )   = c 1 r λ + c 2 r - λ  

= c 1 ⋅ 0 + c 2 ⋅ r - λ  

Mas, r - λ   tende ao infinito, assim:

z ( r )   = ± ∞

Onde o sinal depende do valor de c 2 . Isso mostra que, realmente, há uma assíntota vertical em r = 0 .

Prontinho, galera!

Essa questão era difícil, mas mantendo a calma e tentando aplicar os passos lógicos dá tudo certo 😊

Resposta

a) Resolução no texto.

b) Resolução no texto.

c) b =   ± λ

d) z r = c 1 r λ + c 2 r - λ

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