Considere um circuito RLC onde a força eletromotriz é E   =   12 e - 12 t , a resistência é R   =   5 , a indutância é L   =   1 e a capacitância é C   =   4 . Temos que a queda de tensão no indutor, no capacitor e na resistência é dada, respectivamente, por L q ' ' ( t ) ,   R q '   ( t )   e   C q ( t ) , onde q(t) é a carga no capacitor. A segunda Lei de Kirchoff afirma que a soma das quedas de tensão num circuito é igual à força eletromotriz.

a) Mostre que a carga no capacitor satisfaz uma EDO linear de segunda ordem.

b) Verifique que q 1 ( t )   =   e - t   e   q 2 t =   e - 4 t são soluções fundamentais da equação homogênea.

c) Obtenha a solução geral da equação não homogênea. A carga no capacitor tende a zero quando t cresce?

d) Determine a carga q(t) do capacitor se a carga inicial é q ( 0 )   =   0 e a corrente inicial é q   '   ( 0 )   =   1 .

Passo 1

Falaaa, pessoal! Como vocês estão? Bora começar mais essa questão da lista. No item a), Pela segunda Lei de Kirchoff temos que q(t) satisfaz a seguinte equação,

L q ' ' + R q ' + C q = E

Usando que E   =   12 e - 12 t , a resistência é R   =   5 , a indutância é L   =   1 e a capacitância é C   =   4 , a equação acima fica,

q ' ' + 5 q ' + 4 q = 12 e - 12 t

Passo 2

Para o item b), consideramos primeiro q 1 t = e - t , temos:

q 1 t = e - t

q 1 ' t = - e - t

q 1 ' ' t = e - t

Segue que:

q 1 ' ' + 5 q ' + 4 q 1 = e - t + 5 - e - t + 4 ( e - t )

= 1 - 5 + 4 e - t

= 0

Isso mostra que q 1 (t) é solução da equação homogênea. Fazendo para q 2 , também nos resulta em resultado homogêneo por respeitar a mesma regra.

Passo 3

Para o item c), Pelo método da variação dos parâmetros, a solução geral é:

q t = c 1 t e - t + c 2 t e - 4 t

Onde,

c 1 t = ∫ 12 e - 2 t e - 4 t - 3 e - 5 t d t

= ∫ 4 e - t d t

= 4 e - t + c 1

E,

c 2 t = ∫ ∫ 12 e - 2 t e - t - 3 e - 5 t d t

= ∫ - 4 e 2 t d t

= - 2 e 2 t + c 2

Segue que:

q t = 4 e - t + c 1 e - t + - 2 e 2 t + c 2 e - 4 t

= - 4 e - t e - t + - 2 e 2 t e - 4 t + c 1 e - t + c 2 e - 4 t

= - 6 e - 2 t + c 1 e - t + c 2 e - 4 t

de modo que a carga no capacitor tende a zero quando t cresce, uma vez que,

lim t → ∞ ⁡ q ( t ) = lim t → ∞ ⁡ - 6 e - 2 t + c 1 e - t + c 2 e - 4 t = 0

Passo 4

Para determinar isso no item d), temos que derivar a função e entender as condições inciais dadas. Derivando

q t = - 6 e - 2 t + c 1 e - t + c 2 e - 4 t

Temos

q ' t = 12 e - 2 t - c 1 e - t - 4 c 2 e - 4 t

Usando as condições iniciais dadas,

0 = q 0 = - 6 + c 1 + c 2

1 = q ' 0 = 12 - c 1 - 4 c 2

Concluímos que:

c 1 + c 2 = 6

- c 1 - 4 c 2 = - 11

Cuja única solução é:

c 1 = 13 3 ,     c 2 = 5 3

Portanto, a solução do PVI é:

q t = - 6 e - 2 t + 13 3 e - t + 5 3 e - 4 t

Resposta

a ) R e s p o s t a   n o   p a s s o   1

b )   R e s p o s t a   n o   p a s s o   2

c )   q t = = - 6 e - 2 t + c 1 e - t + c 2 e - 4 t

d ) q t = - 6 e - 2 t + 13 3 e - t + 5 3 e - 4 t

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