Resolva o problema de valor inicial

y ' = 2 c o s c o s   2 x   / ( 3 + 2 y ) , y 0 = - 1 .

E determine onde a solução atinge seu valor máximo.

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá uma equação diferencial e nos pede para usarmos a condição inicial y 0 = - 1 para encontrarmos a solução da equação.

Mas como podemos fazer isso?

Como estamos estudando equações diferenciais, vamos manipular algebricamente a expressão dada com derivadas e integrais para, dessa forma, encontrarmos constantes.

Daí, vamos usar a condição inicial para encontrarmos a solução da equação, belezinha?

Então bora junto aqui!!

Passo 2

Bom... temos que:

d y d x = 2 c o s c o s   2 x   3 + 2 y ∴

Se pudermos separar as variáveis, podemos aplicar o método da separação de variáveis. Isso significa jogar tudo que tem x pra um lado e o que tem y pro outro.

3 + 2 y d y = 2 c o s c o s   2 x   d x ∴

Separando a equação e integrando, temos:

∫ 3 + 2 y d y = ∫ 2 c o s c o s   2 x   d x ∴

3 y + y 2 = s e n   2 x + c ∴

y 2 + 3 y - ( s e n   2 x + c ) = 0 ∴

Resolvendo a equação do 2º grau, temos:

y = - 3 ± 9 + 4 s e n   2 x + c 2

Passo 3

Dessa forma, aplicando a condição inicial y 0 = - 1 , temos:

- 1 = - 3 ± 9 + 4 s e n   2   ( 0 ) + c 2 ∴

- 3 ± 9 + c = - 2 ∴

- 1 ± 9 + c = 0 ∴

Detalhe: Na expressão, observamos que o resultado é obtido para c = - 8 e para um sinal positivo na raiz.

Dessa forma, o resultado é dado por:

y = - 3 + 9 + 4 s e n   2 x - 8 2 ∴

y = - 3 + 4 s e n   2 x + 1 2

Passo 4

Além disso, o valor máximo da solução ocorrerá quando y ' = 0 . Portanto:

0 = 2 c o s c o s   2 x   3 + 2 y ∴

c o s c o s   2 x   = 0 ∴

x = 1 2 0   ∴

x = 1 2 ∙ π 2 + k π ∴

x = π 4 + k π ∴

Em que k é uma constante de tal forma que k ∈ Z .

Passo 5

Dessa forma, para esses valores de x , temos:

y = - 3 + 4 s e n   2 π 4 + 1 2 = - 0,382

Dessa forma, o máximo é dado em x , y = π 4 , - 0,382

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

y = - 3 + 4 s e n   2 x + 1 2

x , y = π 4 , - 0,382

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Resolva a equação diferencial.y^' = (e^y)/(x y)
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Determine se a equação diferencial é linear.x y^' + ln x - x^2 y = 0