7 . Considere as afirmações:

I ) Todas as soluções da equação y ' = 2 y 1 - y 5 são decrescentes.

I I ) A equação y ' = 3 y - 2 x + 6 x y - 1 é separável.

I I I ) A função e x ² é um fator integrante para a equação y ' - 2 x y = x 4 .

Escolha uma:

a . Somente I )   e I I I ) são falsas.

b . As afirmações I I ) e I I I ) são verdadeiras.

c . Todas as afirmações são falsas.

d . As afirmações   I ) e I I I )   são verdadeiras.

e . Somente I ) e I I ) são falsas.

Passo 1

Para conseguir resolver esse exercício temos que analisar cada afirmação com bastante cuidado, mas pode ficar de boa que eu vou fazer isso juntinho com você e vamos descobrir a resposta juntos.

Então vem comigo e vamos matar mais uma!

Passo 2

A primeira afirmação nos diz que “Todas as soluções da equação y ' = 2 y 1 - y 5 são decrescentes.”

Vamos mexer um pouquinho nela e assim vamos ter:

y ' = 2 y - 2 5 y ²

Podemos ver que nesse caso usaremos o método de Bernoulli para resolver nossa EDO. Ou seja:

y ' y - 2 - 2 y 1 - 2 = - 2 5   ⇒ z = y - 1   ∴ z ' = - y - 2 y '

Sendo assim teremos:

- z ' - 2 z = - 2 5 ⇒ - d z d x = - 2 5 + 2 z = - 2 + 10 z 5 = 2 5 ( - 1 + 5 z )

d z d x = - 2 5 - 1 + 5 z = - 2 - 1 5 + z   ∴ ∫ d z - 1 5 + z = ∫ - 2   d x

Resolvendo teremos:

ln ⁡ - 1 5 + z = - 2 x + c 1

Elevando a e em ambos os lados:

- 1 5 + z = e - 2 x + c 1     ⇒   z = c 2 e - 2 x + 1 5

Sabemos que z = 1 y , então:

y = 1 ( 5 c 2 e - 2 x + 1 ) / 5 = 5 5 c 2 e - 2 x + 1 = 5 e - 2 x ( 5 c 2 + e 2 x ) = 5 e 2 x 5 c 2 + e 2 x

Olhando para:

y x = 5 e 2 x 5 c 2 + e 2 x

Podemos ver que a exponencial “comanda” a nossa solução, ou seja, todas as soluções da equação são crescentes e a primeira afirmação é falsa.

Passo 3

Bora pra segunda afirmação que diz que “A equação y ' = 3 y - 2 x + 6 x y - 1 é separável”. Será? Vamos tentar separar então para descobrir:

d y d x = 3 y - 2 x + 6 x y - 1

A grande sacada é saber que esse termo a direita se trata de uma fatoração, ou seja:

d y d x = 2 x + 1 3 y - 1 ⇒ d y 3 y - 1 = 2 x + 1 d x

Então já podemos dizer que essa afirmação é verdadeira.

Passo 4

Agora vamo pra última afirmação, calma que tá acabando.

A afirmação diz que “A função e x ² é um fator integrante para a equação y ' - 2 x y = x 4

O fator integrante é dado por:

e ∫ p x d x = e ∫ - 2 x   d x = e - x 2

E assim concluímos que essa afirmação também é falsa.

Então a resposta do exercício é a letra a .

Resposta

a . Somente I )   e I I I ) são falsas.

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Resolva a equação diferencial:y^' = x e^(x - y) c o s s e c y
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Determine se a equação diferencial é linear.x y + sqrt(x) = e^x y '
Determine se a equação diferencial é linear.x y^' + ln x - x^2 y = 0