Nos problemas de (a) até (c), resolva o problema de valor inicial. Dê o maior intervalo I sobre o qual cada solução está definida

a ) x y ' + y = e x ,   y 1 = 2

Passo 1

Oi povo, tudo bem por aí? Seguinte: precisamos resolver essa equação diferencial aqui

x y ' + y = e x

Nosso instinto é tentar separar tudo que tem x para um lado, tudo que tem y para o outro e integrar, não é verdade?

Mas nesse caso não dá!

Então como resolver? Aí você precisa lembrar do segundo método de resoluções que você aprendeu: resolução por fator integrante

Precisamos verificar se nossa equação diferencial pode ser escrita da seguinte forma

y ' + P x y = Q ( x )

Fazendo isso vamos proceder em duas etapas:

1º) determinar o fator integrante: μ = e ∫ P x d x

2º) depois de achar μ , a solução dessa equação é

y μ = ∫ μ Q ( x ) d x

E aí é só resolver essa integral no lado direito e tá pronta nossa solução! Será que acabou?

Não! Ainda não! Precisamos ainda determinar a solução particular! Temos uma condição particular para nossa solução, nesse caso

y 1 = 2

Então depois de encontrar a solução, precisamos achar a constante que satisfaz essa condição e ainda por fim determinar o maior intervalo onde a solução é válida!

E é “só” isso!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Já descobrimos qual o método que vamos usar, agora é #partiusolução

No método de fator integrante, nós vamos chamar esse fator de μ e considerando que nossa edo está escrita assim

y ' + P x y = Q ( x )

Nosso fator integrante é

μ = e ∫ P ( x ) d x

Beleza? Essa é nossa primeira missão! Achar o fator integrante! No passo seguinte te mostro qual é a solução! Mas como ela envolve esse μ , vamos fazer um passo de cada vez!

Nossa edo é

x y ' + y = e x

Vamos começar dividindo tudo por x

y ' + 1 x y = e x x

Pronto! Nossa edo já está no formato que queremos! Temos que

P x = 1 x ; Q x = e x x

E o nosso fator integrante fica assim

μ = e ∫ 1 x d x = e ln ⁡ x = x

Para que nossa solução seja válida, precisamos que esse x seja positivo, já que ele vem de dentro de um logaritmo!

Tudo bem até aqui?

Assim nosso fator integrante é

μ = x

Passo 3

Agora que calculamos nosso fator integrante, vamos para a solução! Sendo a equação diferencial assim

y ' + P x y = Q ( x )

y ( x ) via fator integrante é essa aqui

y μ = ∫ μ Q ( x ) d x

Por isso que precisávamos encontrar antes o fator integrante! Vamos recapitular! Nossa edo

y ' + 1 x y = e x x

Aí temos

P x = 1 x ; Q x = e x x

E o fator integrante μ

μ = x

Agora é substituir na solução y ( x ) !

y μ = ∫ μ Q ( x ) d x

y . x = ∫ x . e x x d x

Agora basta resolver!

y x = ∫ e x d x = e x + c

Aí nossa solução fica assim

y ( x ) = e x x + c x

Tudo tranquilo até aqui? Agora precisamos descobrir o valor dessa constante!

Passo 4

Nossa solução é a seguinte:

y ( x ) = e x x + c x

E sabemos que y 1 = 2 , assim

y 2 = e + c = 2 → c = 2 - e

Está aí!

E a solução particular para a equação diferencial dada é

y x = e x x + c x = e x x + 2 - e x

Belezinha?

x lá no começo, precisamos garantir que x ≠ 0 , e também que x seja positivo, pois ele veio de um logaritmo... e isso ocorre no maior intervalo entre

I = ( 0 , + ∞ )

E é isso! Acabou a questão! Vamos para a próxima?

Resposta

y x = e x x + 2 - e x

I = ( 0 , + ∞ )

Exercícios de Livros Relacionados

Resolva a equação diferencial.y^' = (e^y)/(x y)
Resolva a equação diferencial:y^' = x e^(x - y) c o s s e c y
Resolva o problema de valor inicial.t (d u)/(d t) = t^2 + 3 u , t0 , u (2) = 4
Determine se a equação diferencial é linear.x y + sqrt(x) = e^x y '
Determine se a equação diferencial é linear.x y^' + ln x - x^2 y = 0