Exercícios Resolvidos de EDO Linear de 1ª Ordem

Fator Integrante

Um fator integrante da equação diferencial x 2 y ' = 2 + x y   x > 0 ,   é:

(a) x

(b) 1 x

(c) e 2 x

(d) e - x 2

(e) e x 2

Passo 1

Pra achar o fator integrante, primeiro temos que botar a equação na forma

y ' x + A x ⋅ y x = B ( x )

A EDO é

x 2 y ' = 2 + x y

O coeficiente multiplicando y ' tem que ser 1 então vamos dividir os 2 lados por x 2 :

y ' = 2 + x y x 2

⇒ y ' = 2 x 2 + y x

⇒ y ' - 1 x y = 2 x 2

Pronto, assim temos

A x = - 1 x     e     B x = 2 x 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos calcular a integral (sem adicionar constante)

∫ A x d x = ∫ - 1 x d x = - ln ⁡ x = ln ⁡ x - 1 = ln ⁡ 1 x

Então o fator integrante é:

e ∫ A x d x = e ln ⁡ 1 x = 1 x

Resposta

Alternativa (b)

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