Exercícios Resolvidos de EDO Linear de 1ª Ordem

Calcule C 1 e C 2 de modo que y x = C 1 sen ⁡ x + C 2 cos ⁡ x satisfaça as condições dadas:

y 0 = 2 ;           y ' 0 = 1

Explique se tais condições caracterizam um Problema de Valor Inicial ou de Valor de Contorno. Marque a única resposta correta.

  C 1 = 3 ; C 2 = 2 ;     P V C

  C 1 = 2 ; C 2 = 1 ;     P V C

  C 1 = 1 ; C 2 = ln ⁡ 2 ;     P V C

    C 1 = - 1 ; C 2 = - 2 ;     P V I

  C 1 = 1 ; C 2 = 2 ;     P V I

Passo 1

Opaa, vamos lá! A questão quer que a gente descubra o valor das constantes C 1 e C 2 a partir das condições dadas e que a gente caracterize o tipo do problema.

Vamos começar caracterizando o problema.

O que é um Problema de Valor Inicial? É aquele que nos apresenta condições no estado inicial do problema.

Já o Problema de Valor de Contorno é quando a condição é dada em outro estado que não seja o inicial.

No nosso problema, todas as condições são para x = 0 , logo para condições iniciais.

Então, já sabemos que é um Problema de Valor Inicial (PVI).

Agora, vamos substituir essas condições para acharmos os valores das constantes.

y 0 = 2 ;           y ' 0 = 1

y x = C 1 sen ⁡ x + C 2 cos ⁡ x  

y 0 = C 1 sen ⁡ 0 + C 2 cos ⁡ 0 = 2  

Então: C 2 = 2

Concorda comigo que sabendo que é PVI e sabendo que C 2 = 2 já seria suficiente para resolver essa questão e partir pra próxima, certo? Assim, a gente ganha tempo na prova.

Aqui vamos continuar para a gente ter certeza da resposta e também saber coo continuar o problema no caso de uma questão discursiva. Na próxima condição, a gente precisa da derivada de y .

y ' x = C 1 cos ⁡ x - C 2 sen ⁡ x

y ' 0 = C 1 cos ⁡ 0 - 2 sen ⁡ 0 = 1 → C 1 = 1

Agora sim!! Resposta completa!!

C 1 = 1 ; C 2 = 2 ; P V I

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Resposta

C 1 = 1 ; C 2 = 2 ; P V I

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