Exercícios Resolvidos de EDO Linear de 1ª Ordem

Passo 1

A primeira coisa é identificar se nossa equação é linear de primeira ordem. Os pré-requisitos para isso são:

Para ser de primeira ordem a derivada de maior ordem deve ter ordem 1.

y 2 d x - 2 x y + 3 d y = 0

Bom, de primeira ordem ela é. Mas para ser linear:

  1. Tanto as derivadas de y quanto o próprio y não podem estar elevados ao quadrado, cubo ou qualquer outro expoente diferente de 1.
  2. Os coeficientes que aparecem multiplicando as derivadas de y e o próprio y dependem apenas de x .

Então ela é de primeira ordem, mas não é linear. Porque temos aquele y ao quadrado ali. Então temos que ver outro jeito de resolvê-la.

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Passo 2

Agora vamos resolve-la. Essa é uma EDO não é separável. E agora? Mas ela parece aquelas EDOs exatas. Vamos confirmar?

Um EDO exata tem esse formato aqui

M x , y d x + N x , y d y = 0  

E para comprovar se ela é exata é preciso satisfazer a condição

∂ M x , y ∂ y = ∂ N ( x , y ) ∂ x

No caso da nossa equação

y 2 d x - 2 x y + 3 d y = 0

M x , y = y 2

N x , y = - ( 2 x y + 3 )

∂ M x , y ∂ y = 2 y

∂ N ( x , y ) ∂ x = - 2 y

Droga ! Não temos uma equação exata. Mas tá quase lá, então podemos encontrar um fator integrante para ela se tornar exata.

Passo 3

Vamos encontrar esse tal de fator integrante. Há duas possibilidades

Candidato 1

∂ M ∂ y - ∂ N ∂ x N = 2 y + 2 y - 2 x y - 3

Candidato 2

∂ N ∂ y - ∂ M ∂ x M = - 2 y - 2 y y 2 = - 4 y y 2 = - 4 y

O fator integrante deve ser função ou só de x ou só de y . Então nossa melhor escolha é o candidato 2.

h y = - 4 y

Para saber o fator integrante u ( y ) mesmo, precisamos fazer

u y = e ∫ h ( y ) d y

∫ h y d y = ∫ - 4 y d y = - 4 ln ⁡ y = ln ⁡ y - 4

Então

u y = e ln ⁡ y - 4 = y - 4

Passo 4

Agora precisamos multiplicar os termos da equação pelo fator integrante, conferir se ficou exata mesmo e depois resolver a edo.

y 2 d x - 2 x y + 3 d y = 0

Multiplicando pelo fator integrante y - 4 y 2 d x - y - 4 2 x y + 3 d y = 0

y - 2 d x - 2 x y - 3 + 3 y - 4 d y = 0

Então

M x , y = - 2 x y - 3 - 3 y - 4

N x , y = y - 2

∂ M x , y ∂ y = - 2 y - 3

∂ N ( x , y ) ∂ x = - 2 y - 3

Agora sim é uma equação exata e podemos resolver.

Passo 5

Primeiro precisamos calcular

∫ M x , y = ∫ y - 2 d x

= x y - 2 + g ( y )

Para encontrar g y vamos derivar a integral que calculamos em função de y e depois comparar com N ( x , y ) e integrar novamente.

∂ x y - 2 + g y ∂ y = - 2 x y - 3 + g ' ( y )

- 2 x y - 3 + g ' ( y ) = N ( x , y )

- 2 x y - 3 + g ' ( y ) = y - 2

g ' y = - 3 y - 4

g y = ∫ g ' ( y ) d y = ∫ - 3 y - 4 d y = y - 3

Passo 6

Por fim, só falta comprar nosso resultado com a constante de integração.

u x , y = C

u x , y = x y - 2 + y - 3

x y - 2 + y - 3 = C

x y 2 + 1 y 3 = C

y x + 1 = C y 3

y x = - 1 + C y 3

x = - 1 y + C y 2

Prontinho, resolvida!

Resposta

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