Nos problemas de (a) até (c), resolva o problema de valor inicial

c ) y ' + P ( x ) y = 4 x ,   y 0 = 3 ,   o n d e   P x = 2 ,     s e   0 ≤ x < 1 - 2 x ,                                   s e   x ≥ 1  

Passo 1

Oi, tudo bem por aí? Essa questão parece ser complicada, mas relaxa, vou fazer passo a passo com você! Bora lá? Precisamos resolver esse problema de valor inicial

y ' + P ( x ) y = 4 x ,   y 0 = 3 ,   o n d e   P x = 2 ,     s e   0 ≤ x < 1 - 2 x ,                                   s e   x ≥ 1

Um dos termos é uma função que é definida por partes! E agora, como fazer?

A ideia aqui é resolver em duas partes: uma para cada etapa da P ( x ) . Iremos encontrar duas soluções: cada uma será válida no mesmo intervalo de validade da P ( x ) . Mas e qual é o mistério aqui?

Está justamente no valor inicial!

O valor inicial dado foi

y 0 = 3

Que abrange apenas a primeira parte da função, quando temos x = 0 no intervalo de definição. Mas precisamos que a solução da segunda etapa também tenha uma condição inicial, e agora?

y ( 1 ) ! Isso porque em x = 1 a função P ( x ) troca de cara!

Isso mesmo! Essa vai ser a condição inicial da solução da segunda etapa da equação diferencial, quando usando a segunda parte da função P ( x ) !

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você! Vamos começar?

Passo 2

Nossa equação é essa aqui

y ' + P ( x ) y = 4 x ,   y 0 = 3

E a função P ( x ) é definida por partes assim

P x = 2 ,     s e   0 ≤ x < 1 - 2 x ,                                   s e   x ≥ 1

Vamos começar resolvendo essa equação quando P x = 2 , válido quando 0 ≤ x < 1 :

y ' + 2 y = 4 x

Essa equação é do tipo

y ' + P x y = Q ( x )

Onde P x = 2 ,   Q x = 4 x !

A solução y ( x ) via fator integrante é essa aqui

y μ = ∫ μ Q ( x ) d x

O fator integrante é

μ = e ∫ P ( x ) d x = e ∫ 2 d x = e 2 x

Agora é só substituir na solução e integrar!

Assim temos

y μ = ∫ μ Q ( x ) d x

y e 2 x = ∫ e 2 x . 4 x d x

Do lado direito vamos resolver pelo método de integração por partes

Beleza?

Agora se você não lembra como escolher u , aqui vai um refresco

Assim temos que u = 4 x ,   d u = 4 d x , e d v = e 2 x ,   v = e 2 x 2 , aplicando por partes na direita temos

y e 2 x = ∫ e 2 x . 4 x d x = 4 x e 2 x 2 - ∫ e 2 x 2 4 d x

y e 2 x = 2 x e 2 x - 2 e 2 x 2 + c

Beleza até aqui?

c ! Com nosso valor inicial

y 0 = 3

Temos

e 0 . 3 = 2.0 - e 0 + c → c = 3 + 1 = 4

Aí nossa solução para 0 ≤ x < 1 é

y x . e 2 x = 2 x e 2 x - e 2 x + 4

y x = 2 x - 1 + 4 e - 2 x

Estamos quase lá! Vamos para a segunda etapa de P ( x ) ?

Passo 3

Agora antes de seguir resolvendo a segunda parte, precisamos encontrar qual é a condição inicial dessa segunda etapa!

Sabemos que a solução até x = 1 é essa aqui

y x = 2 x - 1 + 4 e - 2 x

Encontrada no passo anterior, então o valor que a solução assume no final do intervalo é o valor inicial da segunda solução!

y 1 = 2 - 1 + 4 e - 2 = 1 + 4 e 2

Beleza? Agora vamos resolver essa segunda equação diferencial, e no final aplicar essa condição inicial!

Nossa função é

P x = - 2 x ,   x ≥ 1

E assim a equação diferencial fica

y ' - 2 x y = 4 x

Vamos usar o mesmo método: fator integrante! Mas agora P x = - 2 / x e Q x = 4 x .

μ = e - 2 ∫ d x x = e - 2 ln ⁡ x = e ln ⁡ x - 2 = x - 2

E a nossa solução

y μ = ∫ μ Q ( x ) d x

y . x - 2 = ∫ x - 2 . 4 x d x = 4 ∫ d x x = 4 ln ⁡ x + c

Assim a solução dessa segunda parte fica assim

y x = 4 x 2 ln ⁡ x + c x 2

E por fim, vamos descobrir qual é essa segunda constante! Temos a condição inicial (dessa etapa)

y 1 = 1 + 4 e 2

E aplicando na solução temos

y 1 = 4 . 1 2 ln ⁡ 1 + c . 1 2 = 1 + 4 e 2

c = 1 + 4 e 2

E nossa solução particular para x ≥ 1 fica assim

y x = 4 x 2 ln ⁡ x + 1 + 4 e 2 x 2

Ufa! Agora sim terminamos! A ideia de usar uma função definida por partes em uma equação diferencial é essa: no extremo final de um intervalo vamos encontrar a condição inicial do próximo. Caso a f ( x ) fosse divida em mais uma etapa, estaríamos agora encontrando a condição inicial associada a esse próximo intervalo

Recapitulando nossas respostas! A solução é

y x = 2 x - 1 + 4 e - 2 x ,   p a r a     0 ≤ x < 1 y x = 4 x 2 ln ⁡ x + 1 + 4 e 2 x 2 ,   p a r a       x ≥ 1

E é isso! Terminamos! Vamos treinar mais?

Resposta

y x = 2 x - 1 + 4 e - 2 x ,   p a r a     0 ≤ x < 1 y x = 4 x 2 ln ⁡ x + 1 + 4 e 2 x 2 ,   p a r a       x ≥ 1

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Resolva a equação diferencial.y^' = (e^y)/(x y)
Resolva a equação diferencial:y^' = x e^(x - y) c o s s e c y
Resolva o problema de valor inicial.t (d u)/(d t) = t^2 + 3 u , t0 , u (2) = 4
Determine se a equação diferencial é linear.x y + sqrt(x) = e^x y '
Determine se a equação diferencial é linear.x y^' + ln x - x^2 y = 0