Encontre a curva y x no plano que passa no ponto 1,1 + e sabendo que:

x y ' x - 2 x + y x - e x = 0

Passo 1

Podemos perceber que essa é uma equação linear de 1 ª ordem. Então vamos ao passo a passo dela para resolver

Colocar a equação na forma y ' x + A x ⋅ y x = B ( x ) :

x y ' x - 2 x + y x - e x = 0

⇒ x y ' x + y x = 2 x + e x

⇒ y ' + 1 x y = 2 + e x x

Passo 2

Encontrar A ( x ) e B ( x ) :

Pela equação vemos que

y ' x + A x ⋅ y x = B ( x ) y ' + 1 x y = 2 + e x x

⇒ A x = 1 x B x = 2 + e x x

Passo 3

Calcular a integral ∫ A x d x sem adicionar a constante:

∫ A x d x = ∫ 1 x   d x = ln ⁡ x

⇒ ∫ A x d x = ln ⁡ x

Passo 4

Calcular fator integrante:

I x = e ∫ A x d x = e ln ⁡ x

Lembrando das propriedades de logaritmo vamos ter

I x = x

Passo 5

Calcular a integral ∫ I x . B x d x sem adicionar a constante:

∫ x ⋅ 2 + e x x d x = ∫ 2 x + e x   d x

∫ 2 x + e x d x = 2 x 2 2 + e x = x 2 + e x

⇒ ∫ I x ⋅ B x d x = x 2 + e x

Passo 6

Encontrar a solução:

y x = 1 I x ∫ I x . B x d x + c

⇒ y x = 1 x x 2 + e x + c

⇒ y x = x + e x x + c x

Logo:

y x = x + e x x + c x

Passo 7

Vamos agora para o valor inicial, ele disse que passa no ponto 1,1 + e

1 + e = 1 + e 1 1 + c 1

1 + e = 1 + e + c

c = 0

A equação vai ficar

y x = x + e x x

Resposta

y x = x + e x x

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