Exercícios Resolvidos de EDO Linear de 1ª Ordem

Determine a solução geral y = y ( x ) das seguintes EDOs:

( a )   y ' + 2 x y = 2 x e - x ²

Passo 1

Na letra ( a ) , a gente pode ver que só aparece o y ' como a maior derivada, né? Então, essa EDO é de primeira ordem. Além disso, ela também é linear!

Sendo assim, nosso y ( x ) vai ser da forma:

y ( x ) = 1 I ( x ) ( ∫ I ( x ) . B ( x ) d x + C )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bora identificar nossos amigos I ( x ) e B ( x ) . Mas antes de descobrirmos quem é I ( x ) , precisamos do A ( x ) , que é aquele cara que acompanha o y .

Lembrando que nossa EDO é:

y ' + 2 x y = 2 x e - x ²

Dá pra ver que nosso y ' já está da maneira que a gente precisa, certo? Ele está acompanhado do número 1, e isso é importante pra solução!

{ A ( x ) = 2 x     B ( x ) = 2 x e - x ²  

I ( x ) = e ∫ A ( x ) d x = e ∫ 2 x d x = e x ²

Passo 3

Beleza! Já identificamos quem são nossos amigos. Agora, vamos calcular o nosso y ( x ) .

∫ I ( x ) . B ( x ) d x = ∫ e x ² . 2 x e - x ² d x = ∫ 2 x d x = x ²

Logo,

y ( x ) = 1 e x 2 ( x 2 + C )

Resposta

( a )   y ( x ) = 1 e x 2 ( x 2 + C )

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