Exercícios Resolvidos de EDO Linear de 1ª Ordem

UFRJ, Cálculo 2, P1 2016.1, questão 10

Encontre a solução de x 2 y ' + x y = 1 ,   x > 0 ,   y 1 = 2  

Passo 1

Começaremos dividindo tudo por x 2 , para o coeficiente de y ' ser igual a 1 . Temos:

y ' + 1 x y = 1 x 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, podemos usar o fator integrante. Vamos ter:

A x = 1 x

B x = 1 x 2

O fator integrante é:

I x = e ∫ A x d x

Calculando temos:

I x = e ∫ 1 x d x = e ln ⁡ x = x = x

Pois x > 0 . Então:

∫ I x ⋅ B x d x = ∫ x x 2 d x = ∫ 1 x = ln ⁡ x

Passo 3

Pra finalizar:

y x = 1 I x ∫ I x ⋅ B x d x + C

y x = 1 x ln ⁡ x + C = ln ⁡ x x + C x

O problema diz que y 1 = 2 então:

y = ln ⁡ x x + C x

2 = 0 + C 1

Encontramos:

C = 2

A solução é y = ln ⁡ x x + 2 x

Resposta

y = ln ⁡ x x + 2 x

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