Exercícios Resolvidos de EDO Linear de 1ª Ordem

CEFET, EDO, Professor Hélder,P1 2014.2, Questão 1 item b

Resolva a seguinte equação diferencial:

y ' + cos ⁡ x y = 5 cos ⁡ x

Passo 1

Ae a gente bate o olho e vê! Né não? É uma EDO linear de primeira ordem!

Já está na forma certa! Simbora resolver!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Identifique os paranauê:

A x = cos ⁡ x B x = 5 cos ⁡ x

Passo 3

Calcule a integral:

∫ A x d x = ∫ cos ⁡ ( x ) d x = sen ⁡ ( x )

Passo 4

Calcule o fator integrante:

I x = e ∫ A x d x = e sen ⁡ x

Passo 5

Calcule a integral:

∫ I x B x d x = ∫ e sen ⁡ x 5 . cos ⁡ x d x

Ae você pensa, “é soldado, não foi hoje que rolou aquele free point na prova”. Calma spartano(a), podemos resolver esse paranauê com uma substituição simples! Veja só

u = sen ⁡ ( x ) → d u = cos ⁡ ( x ) d x

Assim fica:

∫ I x B x d x = 5 ∫ e u d u = 5 e u

Aeee, acabou! Só que não, calma ae, temos que voltar a variável antiga!

∫ I x B x d x = 5 e sen ⁡ x

Passo 6

E finalmente ache a resposta:

y x = 1 I x ∫ I x ⋅ B x d x + C = 1 e sen ⁡ x 5 e sen ⁡ x + c = 5 + c e - sen ⁡ x

Resposta

y x = 5 + c e - sen ⁡ x

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