Exercícios Resolvidos de Introdução às Funções de 2 Variáveis

Ver Teoria

Enunciado

Questão 1) Determine o domínio e a imagem das funções

(b) z = l n 5 x - 2 y + 4

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nossa questão nos deu uma função z e nos pediu pra determinar o domínio e a imagem de z .

A princípio, podemos substituir z por f x , y pra ficar parecido com algo que já conhecemos.

Mas e aí! Como podemos determinar o domínio e a imagem de uma função?? 🤔🤔

Imagine que estamos um bolo! A gente coloca os ingredientes em uma vasilha, bate, coloca em uma forma e leva ao forno, correto?

Podemos fazer uma analogia desse processo com o processo de calcular uma função.

Os ingredientes do bolo é o domínio da função.

A ação de bater, colocar em uma forma e levar a forma é o processo de transformação dos ingredientes, ou seja, o processo de transformação do nosso domínio dentro da função.

Por fim, o bolo pronto é a imagem da nossa função, o resultado dos valores do domínio que inserimos na função.

Entendeu?

Passo 2

Porém, queremos fazer um bolo, então não podemos usar qualquer coisa como ingrediente. Se colocarmos um fermento errado ou um par de sapato nos ingredientes, o resultado final não vai ser um bolo!

A mesma coisa se aplica na nossa função, podem existir algumas restrições no domínio da função, ou seja, nos valores que podem ser aplicados a função.

Dessa forma, para cada caso é necessária uma análise desses dados.

No nosso caso a função é

f x , y = l n 5 x - 2 y + 4

Devemos nos fazer uma pergunta: “podemos colocar qualquer valor pra x e y ?”

A resposta é não!

Nossa função é um l n com outra função dentro dele.

Analisando as propriedades de ln ⁡ x por exemplo, vemos que para x ≤ 0 a função ln ⁡ x simplesmente não existe.

Com isso, a função dentro do l n deve seguir a mesma proposta, ou seja

5 x - 2 y + 4 > 0 → 5 x - 2 y > - 4

Com isso, vemos que o domínio da nossa função, ou seja, os possíveis valores de x e y são os números R tais que 5 x - 2 y > - 4 .

Escrevendo isso na forma mais correta, temos que

D o m f x , y = x , y ∈ R 2 5 x - 2 y > - 4

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Por último, queremos dos possíveis valores que nossa função é capaz de resultar, ou seja, nossa imagem.

Pelo que sabemos das propriedades de ln ⁡ x quando x é muito pequeno, próximo de 0 , a função tende a - ∞ e quando x for muito grande tendendo ao infinito, o resultado da função também tende ao infinito.

Da mesma forma se 5 x - 2 y + 4 for muito próximo de 0 ou muito grande, tendendo ao infinito.

Dessa forma, como nossa função atinge qualquer valor entre - ∞ e + ∞ podemos dizer que ela atinge quaisquer valores reais.

Escrevendo isso de forma mais coerente, temos

I m f x , y = f x , y ∈ R

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

D o m f x , y = x , y ∈ R 2 5 x - 2 y > - 4

I m f x , y = f x , y ∈ R

Exercícios de Livros Relacionados

Seja g x , y = c o s ⁡ ( x + 2 y ) .Calcule g ( 2 , - 1 ) .Determine o domínio de g . Determine a imagem de g
Seja f x , y , z = x + y + z + ln ⁡ ( 4 - x 2 - y 2 - z 2 ) .Calcule f ( 1,1 , 1 ) .Determine o domínio de f .
1. Desenhe a imagem:c) F t = t , t , 1 ,t ≥ 0