Um bastão cilíndrico isolante, de comprimento L e raio R (com L   > >   R ), foi carregado uniformemente em sua superfície com carga negativa desconhecida (Figura 1). Mediu-se o campo elétrico gerado a uma distância 3 R do eixo de simetria e encontrou-se o valor E 1 (em módulo).

a ) Calcule o fluxo do campo elétrico através da superfície indicada (sombreada) na Figura 1 (altura h e raio 3 R ).

b ) Obtenha o vetor campo elétrico em função da distância r ao eixo do bastão, para r > R .

Suponha agora que uma casca cilíndrica condutora descarregada (neutra) de comprimento L e raios interno 2 R e externo 4 R é colocada em volta do bastão carregado utilizando-se luva de borracha. Posiciona-se a casca com o eixo de simetria coincidindo com o eixo do bastão (concêntrico), conforme a Figura 2.

Responda, justificando:

c ) Obtenha o valor (módulo) do campo elétrico à distância 3 R do eixo.

d ) Quanto vale a carga na superfície interna e na superfície externa da casca cilíndrica?

Agora suponha que a casca cilíndrica condutora seja aterrada. Responda, justificando:

e ) Quanto vale a carga na superfície interna e na superfície externa da casca cilíndrica?

f ) Calcule o fluxo elétrico que atravessa uma superfície cilíndrica concêntrica ao sistema e de raio r = 9 2 R .

Passo 1

a ) Calcule o fluxo do campo elétrico através da superfície indicada (sombreada) na Figura 1 (altura h e raio 3 R ).

Por definição, o fluxo elétrico é dado por:

ϕ E = ∯ G   E → ∙ d A →

Dada a geometria do problema, o campo elétrico estará na direção radial, sendo perpendicular à superfície cilíndrica e paralelo ao vetor d A → .

O enunciado já nos disse que o módulo do campo nessa superfície é E 1 e como a barra está carregada negativamente, o campo elétrico tem sentido de fora para dentro na direção radial. Isso significa que o fluxo elétrico é negativo.

Assim, podemos simplificar a expressão do fluxo elétrico para:

ϕ E = - E 1 ∯ G   d A → = - E 1 A

ϕ E = - E 1 2 π 3 R h

ϕ E = - 6 π E 1 R h

Onde a área lateral do cilindro é dada por A = 2 π 3 R h .

Passo 2

b ) Obtenha o vetor campo elétrico em função da distância r ao eixo do bastão, para r > R .

Essa é uma questão clássica de Lei de Gauss, dada por:

∯ G   E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

Dada a simetria cilíndrica do problema, podemos simplificar a Lei de Gauss para:

E A = Q i n t ϵ 0

Onde a área é a área lateral do cilindro, dada por:

A = 2 π r L

Portanto:

E = Q i n t 2 π ϵ 0 r L

E → = Q i n t 2 π ϵ 0 r L r ^

A dúvida agora é a seguinte: “Como vamos descobrir quem é Q i n t ?!”.

Passo 3

A malandragem aqui é saber que a Lei de Gauss calcula o fluxo elétrico através de uma superfície fechada. Basicamente o que fizemos na a , ou seja:

∯ G   E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0 = ϕ E

Opa! O fluxo elétrico nós já sabemos, certo?

Q i n t ϵ 0 = ϕ E

Q i n t ϵ 0 = - 6 π E 1 R L

Onde, agora, ao invés de h , usaremos L , que corresponde à altura da barra:

Q i n t = - 6 π ϵ 0 E 1 R L

Agora ficou tranquilo! Só temos que substituir essa expressão de Q i n t na expressão do campo elétrico que já tínhamos encontrado no passo anterior.

E → = Q i n t 2 π ϵ 0 r L r ^

E → = - 6 π ϵ 0 E 1 R L 2 π ϵ 0 r L r ^

Simplificando esse cara:

E → = - 3 E 1 R r r ^

Passo 4

c ) Obtenha o valor (módulo) do campo elétrico à distância 3 R do eixo.

Beleza! Agora estamos olhando para a Figura 2.

A uma distância 3 R do eixo, a região encontra-se no interior do condutor. Opa! Aqui vai uma para que você tem que guardar contigo sempre: no interior de um condutor, o campo é sempre nulo!

Logo:

E = 0

Passo 5

d ) Quanto vale a carga na superfície interna e na superfície externa da casca cilíndrica?

Como o condutor é neutro, quando colocarmos o bastão carregado negativamente no interior da casca cilíndrica, as cargas positivas do condutor serão atraídas e vai se acumular na superfície interna do condutor.

Da mesma forma, as cargas negativas do condutor serão repelidas e se acumularão na superfície externa.

No equilíbrio eletrostático, os módulos das cargas devem ser iguais, mas seus sinais devem ser opostos, conforme discutimos ali em cima:

Q s u p . i n t = - Q b a s t ã o

Onde a carga do bastão nós já calculamos na letra b .

Q b a s t ã o = - 6 π E 1 R L

Q s u p . i n t = 6 π E 1 R L

Como o condutor é neutro:

Q s u p . e x t + Q s u p . i n t = 0

Q s u p . e x t = - Q s u p . i n t

Q s u p . e x t = - 6 π E 1 R L

Passo 6

e ) Quanto vale a carga na superfície interna e na superfície externa da casca cilíndrica?

Se o condutor for aterrado, apenas a carga de sua superfície externa é modificada e cai necessariamente a zero.

Portanto:

Q s u p . i n t = 6 π E 1 R L

Q s u p . e x t = 0

Isso significa que, agora, o condutor passará a ficar carregado positivamente.

Passo 7

f ) Calcule o fluxo elétrico que atravessa uma superfície cilíndrica concêntrica ao sistema e de raio r = 9 2 R .

Opa! Já vimos que podemos associar o fluxo elétrico com a Lei de Gauss:

∯ G   E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0 = ϕ E

Logo:

ϕ E = Q i n t ϵ 0

Quando r = 9 2 R , a região em que queremos calcular o campo elétrico engloba tanto o bastão quanto a casca cilíndrica. Sendo assim:

Q i n t = Q b a s t ã o + Q c a s c a

Q i n t = Q b a s t ã o + Q s u p . i n t + Q s u p . e x t

Q i n t = - 6 π E 1 R L + 6 π E 1 R L + 0

Q i n t = 0

Portanto:

ϕ E = 0

Resposta

a )

ϕ E = - 6 π E 1 R h

b )

E → = - 3 E 1 R r r ^

c )

E = 0

d )

Q s u p . i n t = 6 π E 1 R L

Q s u p . e x t = - 6 π E 1 R L

e )

Q i n t = 6 π E 1 R L

Q s u p . e x t = 0

f )

ϕ E = 0

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