A figura mostra uma esfera metálica e maciça posicionada no centro de uma outra esfera metálica oca. (Na figura, a = 5   c m , b = 15   c m e c = 20 c m )

( 1 / ( 4 π ε 0 ) = 9 × 10 9   N m 2 / C 2 ) .

Qual é a carga total distribuída na superfície externa da esfera oca?

a   220 n C ;

b   30 n C ;

c   - 220 n C ;

d   - 30 n C ;

e   250 n C ;

Passo 1

Esse problema aqui é meio o inverso. Geralmente a gente calcula o campo elétrico a partir das cargas. Agora temos o campo elétrico e tempos que calcular as cargas a partir dele

Pela lei de Gauss e como o sistema tem simetria esférica temos que:

∯ G E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0  

Pela simetria esférica, e escolhendo como gaussiana uma esfera de raio r , essa integral fica

E 4 π r 2 = Q i n t ϵ 0

Q i n t = 4 π r 2 E ϵ 0

Como

k = 1 4 π ϵ 0

Q i n t = r 2 E k

Agora temos que analisar cada uma das regiões

Passo 2

Se pegarmos uma esfera de raio r = 10 c m , onde b > r > a , a carga total dentro dessa esfera será a carga da esfera metálica maciça. Pela figura da questão o campo elétrico pra essa distância é 27000   N / C , assim

Q e s f e r a m e n o r = r 2 E k = 0,1 2 × 27000 9 × 10 9

Q e s f e r a m e n o r = 3 × 10 - 8 C

Passo 3

Agora vamos pegar uma esfera de raio r = 30 c m , onde r > c . A carga total dentro dessa esfera será a carga da esfera maciça somada com a carga da esfera oca. Assim

Q e s f e r a m e n o r + Q e s f e r a m a i o r = r 2 E k

Substituindo os valores, teremos:

3 × 10 - 8 + Q e s f e r a m a i o r = 0,3 2 × 25000 9 × 10 9

3 × 10 - 8 + Q e s f e r a m a i o r = 25 × 10 - 8

Q e s f e r a m a i o r = 22 × 10 - 8 C

Passo 4

Já temos as cargas das duas esferas, mas precisamos da carga na superfície externa da esfera oca. Como a esfera oca é metálica somente teremos carga nas superfícies interna e externa da esfera, ou seja

Q e s f e r a m a i o r = Q b + Q c

Onde Q b é a carga na superfície interna (de raio b ) e Q c é a carga na superfície externa (de raio c ).

Como já temos Q e s f e r a m a i o r , precisamos de Q b .

Pra isso vamos desenhar agora uma gaussiana de raio r , onde c > r > b , ou seja, uma gaussiana que está dentro da esfera oca. A carga total dentro dessa gaussiana é

Q i n t = Q b + Q e s f e r a m a i o r

E o campo elétrico dentro da esfera oca é nulo, já que a esfera é metálica.

E = 0

Assim, pela lei de Gauss

Q i n t = r 2 E k

Q b + Q e s f e r a m a i o r = r 2 E k → Q b + Q e s f e r a m a i o r = 0

Q b = - Q e s f e r a m a i o r

Q b = - 3 × 10 - 8 C

Passo 5

Como

Q e s f e r a m a i o r = Q b + Q c

Finalmente podemos calcular a carga na superfície externa da esfera oca

Q c = Q e s f e r a m a i o r - Q b = 22 × 10 - 8 - - 3 × 10 - 8

Q c = 25 × 10 - 8 = 250 × 10 - 9 C

Q c = 250   n C

Resposta

(E)

  250 n C

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A Fig. 23-30 mostra uma superfície gaussiana com a forma de um cubo de 2,00 m de aresta, imersa em um campo elétrico dado porE → = 3,00 x + 4,00 i ^ + 6,00 j ^ + 7,00 k ^ N / C , com x em metros. Qual
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