Exercícios Resolvidos de Lei de Gauss – Simetrias

Uma esfera condutora maciça de raio a encontra-se carregada com uma carga total Q . Ela está envolvida por uma casca esférica isolante de raio interno b e raio externo c ( c > b > a ), uniformemente carregada com uma densidade volumétrica de carga ρ , como mostrado na figura abaixo. A esfera e a casca são concêntricas e o sistema se encontra em equilíbrio eletrostático.

Utilizando a lei de Gauss, determine o vetor campo elétrico produzido pelo sistema em um ponto a uma distância r do centro da esfera. Considere todas as regiões distintas do espaço, dadas por

(i) r < a ; (ii) a < r < b ; (iii) b < r < c ; e (iv) r > c .

Justifique cuidadosamente todos os argumentos utilizados.

Passo 1

O enunciado fala pra gente que a esfera condutora está em equilíbrio eletrostático, a partir disso a gente consegue concluir que toda a carga dela está na superfície. Como a casca isolante está uniformemente carregada, concluímos também que o problema tem simetria esférica, ou seja, a distribuição de cargas na esfera condutora também vai ser uniforme :)

Vamos imaginar agora dois elementos de carga infinitesimal em posições polares opostas na esfera, porém, na mesma distância até o centro. As componentes de seus campos elétricos que forem perpendiculares à direção radial r ^ se cancelam, então, graças a essa simetria, o nosso campo elétrico vai ser apenas

E → = E r r ^

sendo r a distância até o centro da esfera.

Como a gente já sabe o formato e a expressão do campo, basta escolhermos uma superfície gaussiana S e de raio r concêntrica à esfera e à casca e calcularmos o fluxo de campo elétrico em S para cada região que o enunciado pede.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então vamo lá, o fluxo de campo elétrico na superfície gaussiana S vai ser

ϕ E S = ∮ S E → ⅆ A →

Lembrando que o vetor normal a S coincide com r ^ , temos que

ϕ E S = ∮ S E r r ^ ⅆ A r ^

Como o campo elétrico é constante em toda a superfície:

ϕ E S = E r ∮ S ⅆ A

Ah! A área da superfície de uma esfera é A = 4 π r ²

ϕ E S = E r 4 π r ²

Ta, mas e agora?

Pela Lei de Gauss, sabemos que o fluxo elétrico deve ser igual a Q i n t S ε 0 . Q i n t S é a carga dentro da superfície S , mas ela vai depender do valor de r , então vamos analisar cada uma das situações de r dadas pelo enunciado ok?

Passo 3

i) r < a

Quando r < a , a superfície gaussiana está totalmente interna à esfera condutora.

Lembra que no passo 1 a gente concluiu que toda a carga está na superfície da esfera, e não dentro dela? Então, nesse caso a gente sabe que Q i n t S vai ser 0 , logo:

E r 4 π r 2 = 0 ε 0

E r = 0

ii) a < r < b

Nessa região, a superfície gaussiana está entre a esfera e a casca, então a carga dentro dela vai ser apenas a carga na superfície da esfera, ou seja, Q .

E r 4 π r 2 = Q ε 0

E r = Q 4 π r 2 ε 0

iii) b < r < c

Agora a superfície da gaussiana está dentro da casca, então a carga total dentro dela vai ser a carga na superfície da esfera + uma parte da carga da casca.

Como a casca está uniformemente carregada e tem uma densidade volumétrica de carga ρ , a sua carga vai ser assim

Q c = ρ V c

Onde V c é o volume da casca que está no interior da superfície gaussiana. Logo, Q c vai ser escrita como

Q c = ρ 4 π r 3 - b 3 3

A carga total dentro da gaussiana, então, vai ser

Q i n t S = Q + Q c

Q i n t S = Q + ρ 4 π r 3 - b 3 3

Então, podemos escrever que

E r 4 π r 2 = Q + ρ 4 π r 3 - b 3 3 ε 0

E r = 1 4 π r 2 ε 0 Q + ρ 4 π r 3 - b 3 3

iv) r > c

Agora a superfície gaussiana engloba tanto a esfera quanto a casca, então a carga dentro dela vai ser a soma da carga Q da esfera com a carga total da casca:

Q i n t S = Q + ρ 4 π c 3 - b 3 3

Então:

E r 4 π r 2 = Q + ρ 4 π c 3 - b 3 3 ε 0

E r = 1 4 π r 2 ε 0 Q + ρ 4 π c 3 - b 3 3

Resposta

E r = 0   ,   r < a Q 4 π r 2 ε 0   ,   a < r < b 1 4 π r 2 ε 0 Q + ρ 4 π r 3 - b 3 3   ,   b < r < c 1 4 π r 2 ε 0 Q + ρ 4 π c 3 - b 3 3   ,   r > c

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Muita matéria pra estudar?

Dexter Estudando

Cadastre-se para acessar os Resumões Gratuitos

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas