Uma partícula com carga q foi depositada bem no centro da cavidade de uma casca esférica condutora de raio interno a = 30   c m e raio externo b = 40   c m . O gráfico ao lado da figura mostra o fluxo Φ através de uma esfera gaussiana com centro na partícula em função do raio r da esfera.

(Considere ϵ 0 = 1 × 10 - 11   C 2 / N m 2 ou k = 9 × 10 9   N m 2 / C 2 .)

a ) Determine a carga q da partícula central e a carga líquida Q l í d presente na casca condutora.

b ) Considere agora que q = + 5   n C e Q l í q = - 2 n C . Encontre a dependência do campo elétrico E ( r ) como função de r , para as três regiões: r < a , a < r < b e r > b . Depois , copie na folha de respostas o par de eixos a seguir e esboce nele a função E r encontrada, calculando os valores importantes e explicitando no gráfico.

c ) Remove-se a partícula e a cavidade é preenchida com um material isolante. A carga no isolante apresenta simetria esférica e densidade volumétrica dada pela função ρ r = A / r , onde A   é uma constante. Esta distribuição de carga provoca um campo elétrico radial e de módulo constante e igual a E = 500   N / C dentro da cavidade. Calcule o valor da constante A com sua respectiva unidade SI.

Passo 1

a )

Vamos primeiro determinar a carga q que está no centro da cavidade, para isso vamos utilizar a lei de Gauss, que nos diz:

Φ = q i n t ϵ 0

Para uma gaussiana esférica de raio menor que a , temos:

Φ = q ϵ 0

5 × 10 2 = q 1 × 10 - 11

q = 5 × 10 - 9   C =   5   n C

Para determinar a carga líquida da casca esférica, utilizaremos uma gaussiana esférica de raio superior a b :

Φ = q i n t ϵ 0

Nossa carga interna será a carga depositada no centro da cavidade somada a carga líquida da casca esférica:

Φ = q + Q l í q ϵ 0

Substituindo, temos:

3 × 10 2 = 5 × 10 - 9 + Q l í q 1 × 10 - 11

Q l í q = - 2 × 10 - 9   C = - 2   n C

vambora pro próximo item!

Passo 2

b )

Vamos agora determinar o campo para as três regiões, para isso usaremos..tchan tchan tchan tchaaannnnn...a lei de Gauss, só que daquele jeitinho maroto, se liga!

∯ G E → ∙ d A → = q i n t ϵ 0

Lembrando que o campo será radial e constante, podemos calcular assim:

Em r < a :

∯ G E → ∙ d A → = q i n t ϵ 0

E . A = q ϵ 0

Onde A é a área da gaussiana esférica, perceba que só podemos fazer isso pois o campo é constante e porque o vetor área será sempre paralelo ao campo! Substituindo os valores, temos:

E . 4 . π . r 2 = 5 × 10 - 9 ϵ 0  

E = 5 × 10 - 9 4 . π . ϵ 0   . r 2 = k .   5 × 10 - 9 r 2

E ( r ) = 45 r 2

Como temos que construir o gráfico, é valido determinar o valor do campo para r = a :

E a = 45 a 2

E a = 45 0,3 2 =   500   N / C

Em a < r < b :

Nesse intervalo estamos dentro da casca esférica, e sabemos que o campo elétrico dentro de um condutor é....zero!!

E r = 0

Em r > b :

E . A = q i n t ϵ 0

Lembre-se que q i n t é a soma de todas as cargas internas, ou seja, de q e Q l í q . Substituindo os valores, temos:

E . 4 . π . r 2 = 5 × 10 - 9 - 2 × 10 - 9 ϵ 0

E = 5 × 10 - 9 - 2 × 10 - 9 4 . π . ϵ 0 . r 2 = k ( 5 × 10 - 9 - 2 × 10 - 9 ) r 2

E r = 27 r 2

Por conta do gráfico vamos determinar o valor do campo em r = b :

E b = 27 b 2

E b = 27 0,4 2 = 169   N / C

O gráfico deve ficar assim:

Eu sei...eu sei!! Ficou feio...mas dá para entender! =]

Passo 3

c )

Para determinar o valor da constante A vamos novamente utilizar a Lei de Gauss, temos então:

∮ E → . d A → = Q i n t ϵ 0

Por conta da simetria esférica, temos que o vetor área é sempre paralelo ao vetor campo, além de sabermos que este é constante:

E . 4 . π . r 2 = Q i n t ϵ 0

Beleza, vamos agora determinar quanto vale a carga interna:

Q i n t = ∫ ρ . d V

Q i n t = ∫ 0 r A r ' . 4 . π . r ' 2 d r '

Q i n t = 4 . π . A . r 2 2

Vamos substituir isso na fórmula da lei de Gauss:

E . 4 . π . r 2 = Q i n t ϵ 0

E . 4 . π . r 2 = 4 . π . A ϵ 0 . r 2 2

Simplificando, temos:

A = 2 . ϵ 0 . E

Substituindo os valores, temos;

A = 2 . 1 × 10 - 11 . 500

A = 1 × 10 - 8 C / m 2

Resposta

a ) q = 5   n C ;   Q l í q = - 2   n C

b ) E r = 45 r 2           r < a E r = 0       a < r < b E r = 27 r 2       r > b  

c ) A = 1 × 10 - 8 C / m 2

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