Exercícios Resolvidos de Lei de Gauss – Simetrias

UFRJ- Física 3 – P1 2018.1 - DIURNO - 4

Uma casca esférica condutora, de raio interno a e raio externo b , encontra-se carregada com uma carga total Q . Uma partícula de carga q é posicionada no centro da casca. Sabendo que o sistema encontra-se em equilíbrio eletrostático e sendo r a distância medida a partir do centro da casca, a intensidade do campo eletrostático produzido pelo sistema nas regiões do espaço definidas por r < a e r > b vale, respectivamente:

  1. q 4 π ϵ 0 r 2 e Q + q 4 π ϵ 0 r 2
  2. q 4 π ϵ 0 r 2 e Q 4 π ϵ 0 r 2
  3. Q 4 π ϵ 0 r 2 e Q + q 4 π ϵ 0 r 2
  4. Q + q 4 π ϵ 0 r 2 e Q 4 π ϵ 0 r 2
  5. Q + q 4 π ϵ 0 r 2 e q 4 π ϵ 0 r 2
  6. 0 e Q + q 4 π ϵ 0 r 2
  7. 0 e Q 4 π ϵ 0 r 2

Passo 1

Considerando primeiro a região da casca esférica r < a . Fazendo uma superfície gaussiana esférica com raio r , apenas a carga q dentro dessa gaussiana contribuirá para o fluxo elétrico.

Como o campo elétrico gerado por uma carga pontual tem direção radial e tem os mesmos valores sobre todos os pontos à uma distância r de q , então, da lei de Gauss, temos

Φ E = ∮ S E → ⋅ d A → = ∮ S E d A = E ∮ S d A = E 4 π r 2 = q ε 0   .    

Isso nos dá, para r < a ,

E = q 4 π ε 0 r 2   .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para a região em que r > b , o procedimento é semelhante, mas com a superfície gaussiana com raio r englobando as duas cargas Q e q . Por isso,

E = Q + q 4 π ε 0 r 2   .

Como temos um condutor com simetria esférica, essa expressão é a mesma que o campo elétrico produzido por uma carga pontual Q + q que estivesse localizada no centro da esfera condutora.

Resposta

Letra a).

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