Uma esfera metálica maciça de raio R 1 = 1 m é concentricamente circundada por uma casca esférica metálica com raios interno R 2 = 3 m e externo R 3 = 4 m , como mostrado na figura abaixo.

O fluxo elétrico ϕ através de uma superfície esférica gaussiana de raio r = 6 m vale ϕ = 6 × 10 2   N m 2 / C . Sabendo que a esfera maciça possui uma carga Q 1 = 4   n C e considerando que ϵ 0 = 1 × 10 - 11   C 2 / N m 2 e k = 9 × 10 9   N m 2 / C 2 :

a ) Calcule, utilizando a Lei de Gauss, a distribuição das cargas nas superfícies externa e interna da casca esférica. Qual é o valor da carga líquida da casca? Justifique as afirmações e os cálculos.

b ) Calcule o valor do módulo do campo elétrico na superfície da esfera maciça e na superfície externa da casca.

Considere agora que a casca esférica metálica é substituída por uma casca esférica isolante com R 2 = R 1 = 1 m e R 3 =   4 m (desenho abaixo). A casca isolante é carregada uniformemente com uma carga Q igual ao valor da carga líquida da casca metálica anterior.

c ) Calcule o valor do fluxo elétrico ϕ através de uma superfície gaussiana esférica de raio r = R 3 2 .

Passo 1

a ) Calcule, utilizando a Lei de Gauss, a distribuição das cargas nas superfícies externa e interna da casca esférica. Qual é o valor da carga líquida da casca? Justifique as afirmações e os cálculos.

Tudo muito bonito... mas antes de começarmos a pensar nas distribuições de cargas nas superfícies externa e interna da casca esférica, primeiro precisamos descobrir a carga total da casca esférica Q 2 , concorda?

O enunciado nos disse que, para r = 6 m , o fluxo elétrico ϕ = 6 × 10 2   N m 2 / C . Além disso, Q 1 = 4 n C = 4 × 10 - 9 C , ϵ 0 = 1 × 10 - 11   C 2 / N m 2 e k = 9 × 10 9   N m 2 / C 2 .

Beleza! Quando o cara fala de fluxo elétrico no enunciado, no fundo, ele está pedindo pra usarmos a Lei de Gauss:

ϕ = ∯ G   E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

Aqui, com os dados que temos, a fórmula que temos que usar é:

ϕ = Q i n t ϵ 0

No caso em que a gaussiana é uma esfera de raio r = 6 m , na região englobada pela gaussiana, estão tanto a esfera como a casca condutora. Sendo assim:

Q i n t = Q 1 + Q 2

Portanto:

Q i n t = ϵ 0 ϕ

Q 1 + Q 2 = ϵ 0 ϕ

Q 2 = ϵ 0 ϕ - Q 1

Substituindo os valores:

Q 2 = 1 × 10 - 11 × 6 × 10 2 - 4 × 10 - 9

Q 2 = 2 × 10 - 9   C

Q 2 = 2 n C

Agora sim!

Agora podemos calcular a carga nas superfícies interna e externa da casca esférica.

Passo 2

  • Superfície interna:
  • Se tivéssemos apenas a casca esférica carregada com carga Q 2 = 2 n C , toda essa carga se encontraria na superfície externa da casca, de forma que a superfície interna teria carga nula.

    Mas assim que colocamos a esfera com carga Q 1 = 4 n C no interior da casca esférica, uma determinada quantidade de carga negativa será atraída pela esfera, assim como uma determinada quantidade de carga positiva vai ser repelida.

    No equilíbrio eletrostático, a carga atraída para a superfície interna Q i n t deve ser igual, em módulo, à carga da esfera Q 1 , mas com o sinal oposto:

    Q i n t = - Q 1

    Q i n t = - 4 n C

  • Superfície externa:
  • Beleza! Já sabemos que uma determinada quantidade de carga vai ser atraída para a superfície interna, e outra será repelida para superfície externa. Independente disso, a carga total da casca deve permanecer constante, logo:

    Q 2 = Q e x t + Q i n t

    Q e x t = Q 2 - Q i n t

    Logo:

    Q e x t = 2 n C - - 4 n C

    Q e x t = 6 n C

    Passo 3

    b ) Calcule o valor do módulo do campo elétrico na superfície da esfera maciça e na superfície externa da casca.

    Novamente vamos ter que usar a Lei de Gauss:

    ∯ G   E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

    Como queremos calcular o módulo do campo elétrico, por causa da geometria esférica, podemos simplificar a Lei de Gauss:

    E ∯ G   d A = Q i n t ϵ 0

    E A = Q i n t ϵ 0

    Onde A é a área da nossa gaussiana esférica:

    E 4 π r 2 = Q i n t ϵ 0

    E = 1 4 π ϵ 0 Q i n t r 2

    E = k Q i n t r 2

    Onde k = 9 × 10 9   N m 2 / C 2 .

    Opa! Então o nosso único trabalho aqui é determinar Q i n t e r para cada caso:

  • Superfície da esfera:
  • r = 1 m

    Q i n t = Q 1 = 4 × 10 - 9 C

    Logo:

    E e s f = 9 × 10 9 × 4 × 10 - 9 1 2

    E e s f = 36   N / C

  • Superfície externa da casca esférica:

r = 4 m

Q i n t = Q 1 + Q 2 = 4 n C + 2 n C = 6 n C

Q i n t = 6 × 10 - 9 C

Logo:

E c a s c a = 9 × 10 9 × 6 × 10 - 9 4 2 = 54 16

E c a s c a = 27 8   N / C

Passo 3

c ) Calcule o valor do fluxo elétrico ϕ através de uma superfície gaussiana esférica de raio r = R 3 2 .

Opa! Já que temos que calcular o fluxo elétrico, vamos voltar a usar a Lei de Gauss:

ϕ = Q i n t ϵ 0

Esse raio da nova gaussiana vale:

R 3 = 4 m

r = 2 m

O problema aqui é calcular a carga interna Q i n t . A gaussiana engloba a esfera e parte da casca isolante. Então temos que definir a quantidade de carga referente à porção da casca esférica englobada pela gaussiana.

Q i n t = Q c a s c a ' + Q 1

Como a carga está uniformemente distribuída na casca, temos apenas que usar uma regra de 3 pra resolver a nossa vida:

Q 2 Q c a s c a ' = V 2 V c a s c a ' = 4 3 π 4 3 - 1 3 4 3 π 2 3 - 1 3 = 63 7 = 9

Q c a s c a ' = 1 9 Q 2

Q c a s c a ' = 2 × 10 - 9 9

Q c a s c a ' = 0 , 22 × 10 - 9 C

Portanto:

Q i n t = 0 , 22 × 10 - 9 + 4 × 10 - 9

Q i n t = 4 , 22 × 10 - 9 C

Finalmente, agora é só calcular o fluxo elétrico:

ϕ = Q i n t ϵ 0 = 4 , 22 × 10 - 9 10 - 11

ϕ = 4 , 22 × 10 2   N m 2 / C

Resposta

a )

Q 2 = 2 n C

Q i n t = - 4 n C

Q e x t = 6 n C

b )

E e s f = 36   N / C

E c a s c a = 27 8   N / C

c )

ϕ = 4 , 22 × 10 2   N m 2 / C

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