A figura a seguir é uma seção de uma barra condutora de raio R 1 = 1,30   mm e comprimento L = 11,00   m no interior de uma casca coaxial, de paredes finas, de raio R 2 = 10   R 1 e mesmo comprimento L .

A carga da barra é Q 1 = + 3,40 × 10 - 12   C ; a carga da casca é Q 2 = - 2,00   Q 1 . Determine:

  1. O módulo do campo elétrico E a uma distância radial r = 2,00   R 2 ;
  2. A direção (para dentro ou para fora) do campo elétrico a uma distância radial r = 2,00   R 2 ;
  3. O módulo do campo elétrico E a uma distância radial r = 5,00   R 1 ;
  4. A direção (para dentro ou para fora) do campo elétrico a uma distância radial r = 5,00   R 1 ;
  5. A carga na superfície interna da casca;
  6. A carga na superfície externa da casca;

Passo 1

  1. O módulo do campo elétrico E a uma distância radial r = 2,00   R 2 ;
  2. Show de bola! Se r = 2 R 2 , significa que estamos querendo calcular o campo elétrico fora do meu sólido.

    Como se trata de um cilindro, podemos escolher como a nossa gaussiana um cilindro de raio r = 2 R 2 e comprimento L , assim a gente resolve a nossa vida.

    Matematicamente, a Lei de Gauss é a seguinte fórmula:

    ∯ G   E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

    E como no cilindro que nós escolhemos como gaussiana, o campo elétrico é constante e perpendicular à superfície, podemos reescrever a Lei de Gauss dessa maneira:

    E A = Q i n t ϵ 0

    Foi tranquilo até aqui?

    Passo 2

    Bom, agora vamos ver o que falta pra encontrarmos o valor do campo elétrico.

    Lembrando que a nossa gaussiana se trata de um cilindro de raio r = 2 R 2 e de comprimento L , a área superficial é dada por

    A = 2 π r L

    Onde:

    r = 2 R 2 = 20 R 1 = 20 × 1,3 × 10 - 3 = 0 , 0 26   m ;

    L = 11,00   m ;

    A = 1,797   m 2

    Como a nossa gaussiana engloba todo o fio condutor, a carga interna total Q i n t vai ser igual à soma das cargas da barra com a casca. Sendo assim:

    Q i n t = Q 1 + Q 2

    Onde:

    Q 1 = + 3,40 × 10 - 12   C ;

    Q 2 = - 2,00   Q 1 = - 6,80 × 10 - 12   C ;

    Q i n t = 3,40 × 10 - 12 - 6,80 × 10 - 12

    Q i n t = - 3,40 × 10 - 12   C

    Agora é só jogar na fórmula que encontramos:

    E A = Q i n t ϵ 0

    E = Q i n t A ϵ 0

    Lembrando que ϵ 0 = 8,85 × 10 - 12   C 2 /N m 2 .

    E = - 3,40 × 10 - 12 1,797 × 8,85 × 10 - 12

    E ≅ - 0,214   N/C

    Como estamos interessados no módulo do campo elétrico:

    E = 0,214   N/C

    Passo 3

  3. A direção (para dentro ou para fora) do campo elétrico a uma distância radial r = 2,00   R 2 ;
  4. Lembra que no item anterior, quando calculamos o campo elétrico nós encontramos um valor negativo?

    Isso aconteceu porque a carga interna total da nossa gaussiana Q i n t é negativa.

    Portanto, o campo elétrico vai estar na direção radial, apontando para dentro da gaussiana.

    Passo 4

  5. O módulo do campo elétrico E a uma distância radial r = 5,00   R 1 ;
  6. O raciocínio é o mesmo que usamos anteriormente. Então, a nossa gaussiana vai ser um cilindro de raio r = 5 R 1 e de comprimento L .

    Assim, a área lateral vai ser dada por:

    A = 2 π r L

    Onde:

    r = 5 R 1 = 5 × 1,3 × 10 - 3 = 0,0 0 65   m ;

    L = 11,00   m ;

    A = 0,449   m 2

    A diferença agora é que, analisando os dados do problema, agora a nossa gaussiana vai ser um cilindro que vai estar entre a barra e a casca.

    Entretanto, como a única carga que nos interessa, de acordo com a Lei de Gauss, é a carga no interior da gaussiana, a carga interna total agora vai ser

    Q i n t = Q 1 = + 3,40 × 10 - 12   C

    Agora, novamente, é só jogar na fórmula:

    E = Q i n t A ϵ 0

    E = 3,40 × 10 - 12 0,449 × 8,85 × 10 - 12

    E = 0,855   N/C

    Passo 5

  7. A direção (para dentro ou para fora) do campo elétrico a uma distância radial r = 5,00   R 1 ;
  8. Lembra que no item anterior, quando calculamos o campo elétrico nós encontramos um valor positivo?

    Isso aconteceu porque a carga interna total da nossa gaussiana Q i n t é positiva.

    Portanto, o campo elétrico vai estar na direção radial, apontando para fora da gaussiana.

    Passo 6

  9. A carga na superfície interna da casca;
  10. O que acontece é o seguinte... se não tivesse nenhuma carga no interior da casca, quando olhássemos de frente, as cargas na casca carregada teriam essa distribuição:

    Mas como existe carga no interior da casca carregada, haverá uma distribuição parecida com esta:

    Isso acontece porque a carga no interior atrai o mesmo número de cargas que correspondente ao seu valor, mas de sinais opostos.

    Assim, se no interior da casca existe a barra de carga Q 1 = + 3,40 × 10 - 12   C , na superfície interna da casca, haverá uma carga de

    Q i n t = - Q 1 = - 3,40 × 10 - 12   C

    Passo 7

  11. A carga na superfície externa da casca;

Vamos continuar o raciocínio do item anterior, ok?

Já sabemos que a casca possui uma carga de Q 2 = - 2,00   Q 1 = - 6,80 × 10 - 12   C , certo? (tá no enunciado)

Então não importa como as cargas estejam distribuídas na casca cilíndrica, a carga total deve ser sempre a mesma Q 2 .

Isso significa que:

Q 2 = Q e x t + Q i n t

Q e x t = Q 2 - Q i n t

Q e x t = - 6,80 × 10 - 12 - - 3,4 × 10 - 12

Q e x t = - 6,80 × 10 - 12 + 3,40 × 10 - 12

Q e x t = - 3,40 × 10 - 12   C

Resposta

  1. E = 0,214   N/C ;
  2. Direção radial, para dentro da gaussiana;
  3. E = 0,855   N/C ;
  4. Direção radial, para fora da gaussiana;
  5. Q i n t = - 3,40 × 10 - 12   C
  6. Q e x t = - 3,40 × 10 - 12   C

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