Exercícios Resolvidos de Lei de Gauss – Simetrias

Elaboração Própria

Calcule a expressão para o vetor campo elétrico na região fora de uma esfera carregada com densidade volumétrica de carga ρ :

ρ r = k r 2

Onde r é a distância de um ponto até a origem e 0 < r ≤ R .

A esfera tem raio R e k é uma constante.

Passo 1

Sabemos que o campo de uma esfera carregada tem configuração radial e simetria esférica, portanto escolhemos uma Gaussiana esférica de raio arbitrário r . Portanto enunciamos a lei de Gauss:

∯ G   E → ∙ d A → = Q int ϵ 0

Sabemos que a carga interna à Gaussiana neste caso é somente a carga total da esfera. Portanto vamos descobrir essa grandeza. Utilizando a expressão da densidade volumétrica:

ρ r = d q d V

Onde d V é uma unidade infinitesimal de volume. Isolando a quantidade infinitesimal de carga e integrando em toda esfera:

d q = ρ r d V

Q total = ∫ 0 R ρ r d V

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza, a expressão para a densidade nós temos, pois é um dado. Agora esse d V fica meio solto. Recordemos do capítulo de densidade de cargas como fazer: como estamos tratando de coordenadas esféricas, supomos o volume arbitrário como sendo uma esfera de raio qualquer r . Seu volume é:

V = 4 3 π r 3

Logo, derivando:

d V = 4 π r 2 d r

Substituindo e integrando:

Q total = ∫ 0 R k r 2 ( 4 π r 2 d r )

Q total = 4 k π ∫ 0 R r 4 d r

Q total = 4 k π R 5 5

Passo 3

Por conta da forma da Gaussiana escolhida e da configuração do campo, temos que o vetor de campo E → e o vetor normal d A → são paralelos em toda G , portanto:

E → ∙ d A → = E   d A

Segue que:

∯ G   E → ∙ d A → = ∯ G   E   d A

Passo 4

Também pela configuração do campo, sabemos que o seu módulo é constante em toda G :

E → = c t e

Portanto podemos tirá-lo da integral:

∯ G   E   d A = E ∯ G   d A

A integral de d A em toda G é a área dela, portanto, como se trata da superfície de uma esfera de raio r , temos: ∯ G   d A = 4 π r 2

Segue que:

E 4 π r 2 = Q total ϵ 0

Isolando:

E = Q total 4 π ϵ 0 r 2

Passo 5

Substituindo tudo:

E = 4 k π R 5 5 × 1 4 π ϵ 0 r 2

E = k R 5 5 ϵ 0 r 2

O vetor é, portanto:

E → = k R 5 5 ϵ 0 r 2 r ^ ,       r ≥ R

Resposta

E → = k R 5 5 ϵ 0 r 2 r ^

r ≥ R

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