(Capítulo 23 – Problemas Adicionais – Exercício 73) Uma esfera não condutora tem uma densidade volumétrica de cargas uniforme ρ . Seja r o vetor que liga o centro da esfera a um ponto genérico P no interior da esfera. (a) Mostre que o campo elétrico no ponto P é dado por E → = ρ r → 3 ε 0 . (Observe que o resultado não depende do raio da esfera.) (b) Uma cavidade esférica é aberta na esfera, como mostra a Fig. 23-56. Usando o princípio da superposição, mostre que o campo elétrico no interior da cavidade é uniforme e é dado por E → = ρ a → 3 ε 0 , onde a → é o vetor que liga o centro da esfera ao centro da cavidade.

Passo 1

Eaeee gente, tranquilo? Vamos lá pra mais uma!

Aqui temos uma esfera com densidade volumétrica ρ , e aí queremos encontrar:

- O campo elétrico em um ponto P dentro da esfera

- O campo elétrico dentro de uma cavidade esférica que é aberta

Para isso, vamos usar a Lei de Gauss

∫ E → ⋅ d A → = q e n v ε 0

Boraaa

Passo 2

(a) Para calcular o módulo do campo elétrico dentro da esfera, vamos utilizar a lei de Gauss:

∫ E → ⋅ d A → = q e n v ε 0

Primeiramente vamos encontrar a carga envolvida, q e n v :

q e n v = ρ V

Onde V é o volume da superfície Gaussiana, nesse caso vamos escolher uma casca esférica de raio r menor que a esfera não condutora. Portanto:

q e n v = ρ 4 / 3 π r 3

e

∫ E → ⋅ d A → = ρ 4 / 3 π r 3 ε 0

Como, nessa superfície o módulo do campo é constante:

∫ E → ⋅ d A → = E ∫ d A = E 4 π r 2

Logo:

E 4 π r 2 = ρ 4 / 3 π r 3 ε 0

E = ρ 3 ε 0 r

Como o campo tem direção radial:

E → = ρ 3 ε 0 r →

Ebaaa, ta comprovado a letra a

Passo 3

(b) Podemos imaginar que essa cavidade é na verdade uma esfera de densidade volumétrica de carga - ρ , dentro da esfera maior de carga ρ . Portanto, para calcular o campo gerado por essas duas esferas, basta somar o campo gerado individualmente por cada uma:

E → = ρ 3 ε 0 r → + - ρ 3 ε 0 r → – a →

E → = ρ 3 ε 0 r → - ρ 3 ε 0 r → + ρ 3 ε 0 a →

Então:

E → = ρ 3 ε 0 a →

Arrasamos né!

Resposta

(a) E → = ρ 3 ε 0 r → (b) E → = ρ 3 ε 0 a →

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