a )   Uma seção de comprimento L do cilindro infinito de raio a , mostrado na Figura 1, tem carga total Q . Esta carga se distribui no volume definido pela seção de acordo com densidade volumétrica de carga ρ r = ρ 0   ( r / a ) 2 . A densidade não varia ao longo do eixo do cilindro, o que permite definir a densidade linear de carga λ = Q / L . Determine a relação entre λ e ρ 0 , considerando os valores de Q ,   L e a conhecidos.

b ) Determine o módulo do vetor campo elétrico em um ponto qualquer afastado da distância R (onde R > a ) do eixo do cilindro infinito (Figura 1), considerando o valor de λ conhecido.

c ) Três cilindros idênticos (raio a e densidade linear de carga λ ) estão alinhados com os eixos coordenados, conforme mostra a Figura 2. Determine o vetor campo elétrico em um ponto P de coordenadas ( x 0 ,   y 0 ) situado no plano x y e fora dos três cilindros, desprezando as distorções devidas à junção situada em torno da origem.

Passo 1

a )

A carga total do volume do cilindro pode ser calculada por meio de uma integral, tripla, chato, eu sei! Mas nem é tão difícil, se liga!

Q = ∭ ρ 0 . r a 2 d V

Lembrando que cara coordenadas cilíndricas, d V = r d r d ϕ d z :

Q = ∫ 0 L ∫ 0 2 π ∫ 0 a ρ 0 . r a 2 r d r d ϕ d z

Q = 2 π . L . ρ 0 a 2 ∫ 0 a r 3 d r

Q = 2 π . L . ρ 0 a 2 a 4 4

Q = π . L . ρ 0 . a 2 2

Como λ = Q L :

Q L = λ = π . ρ 0 . a 2 2

Passo 2

b )

Para determinar o campo produzido, vamos usar a linda Lady Gauss. Usaremos uma gaussiana cilíndrica, lembrando que, nesse caso, o campo é sempre paralelo ao vetor área, logo:

E . A = Q i n t ε 0

E . 2 . π . r . L = λ . L ε 0  

E → r =   λ 2 . π . r . ε 0   ( r ^ )

O vetor campo aponta sempre na direção radial!

Passo 3

c )

Para determinar o campo no ponto P , podemos calcular o campo produzido por cada fico em separado e depois somar cada campo vetorialmente.

Vamos começar calculando o campo produzido pelo fio que está sobre o eixo x . O ponto está a uma distância y 0 do fio e o campo irá apontar na direção positiva do eixo y , logo:

E → x =   λ 2 . π . y 0 . ε 0   ( y ^ )

Analogamente, o ponto está a uma distância x 0 do fio que se encontra sobre o eixo y , e campo apontará na direção positiva do eixo x , logo:

E → y =   λ 2 . π . x 0 . ε 0   ( x ^ )

Para o fio que está sobre o eixo z , complica um pouquinho, mas nem tanto, agora, o campo terá uma componente em x e uma em y , e o ponto está a uma distância x 0 2 + y 0 2 do fio. As componentes serão:

E → z x = λ . cos ⁡ θ 2 . π . x 0 2 + y 0 2 . ε 0   ( x ^ )

E → z y = λ . sen ⁡ θ 2 . π . x 0 2 + y 0 2 . ε 0   ( y ^ )

Onde cos ⁡ θ = x 0 x 0 2 + y 0 2 e sen ⁡ θ = y 0 x 0 2 + y 0 2 , logo:

E → z x = λ . x 0 2 . π . x 0 2 + y 0 2 . ε 0   ( x ^ )

E → z y = λ . y 0 2 . π . x 0 2 + y 0 2 . ε 0   ( y ^ )

Somando todas as componentes do campo, temos:

E → = λ 2 . π . x 0 . ε 0   x ^ + λ . x 0 2 . π . x 0 2 + y 0 2 . ε 0   x ^ + λ 2 . π . y 0 . ε 0   y ^ + λ . y 0 2 . π . x 0 2 + y 0 2 . ε 0   ( y ^ )

E → = λ 2 . π . ε 0   . 1 x 0 + x 0 x 0 2 + y 0 2 x ^ + λ 2 . π . ε 0   . 1 y 0 + y 0 x 0 2 + y 0 2

Resposta

a ) λ = π . ρ 0 . a 2 2

b ) E → r =   λ 2 . π . r . ε 0   ( r ^ )

c ) E → = λ 2 . π . ε 0   . 1 x 0 + x 0 x 0 2 + y 0 2 x ^ + λ 2 . π . ε 0   . 1 y 0 + y 0 x 0 2 + y 0 2

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